数学基础：向量

向量的概念：

向量：

简单理解：具有大小和方向的量称为向量

单位向量：

单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。

一个非零向量除以它的模（向量长度），可得单位向量：e=AB→|AB|

零向量：

长度（模）等于0的向量叫零向量，零向量方向不确定。

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向量的基本运算

向量加法：

向量加法满足三角形法则和平行四边形法则：

假设，a=（ x1，y1 ），b=( x2，y2 )；则：a+b=( x1+x2 ， y1+y2 )

交换律： a+b=b+a；
结合律： (a+b)+c=a+(b+c)；

向量减法：

如图所示，两个向量有共同的起点(O)，则两个向量的差是以减向量的终点(B)为始点，被减向量的终点(A)为终点的向量（BA）。或简记为“终点向量减始点向量”

通过上图还可以推断出：“从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量”

假设，a=（ x1，y1 ），b=( x2，y2 )；则：a-b=( x1-x2 ， y1-y2 )

交换律： a+(-b)=a-b

向量的数乘：

设λ是一个数量，向量a⃗ 与λ的乘积规定如下：
1、当λ>0时：向量λa⃗ 的方向与a⃗ 的方向相同，其模等于|a⃗ |的λ倍，
即：|λa⃗ |＝λ|a⃗ |；

2、当λ=0时：向量λa⃗ 是零向量，即：λa⃗ ＝0⃗ ；

3、当λ<0时：向量λa⃗ 的方向与a⃗ 的方向相反，其模等于|a⃗ |的|λ|倍，即：|λa⃗ |＝|λ||a⃗ |；

向量的正射影：

OA→=a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角中余弦定义有：

al=|a|cosθ

向量的内积（数量积、点积）：

定义：|a||b|cos<a,b>叫做向量a和b的数量积（内积），记作a·b，即：

a⋅b=|a||b|cos<a,b>

重要性质：

• 如果e是单位向量，则：a⋅e=e⋅a=|a|cos<a,e>；
• a⊥b则a·b=0。且a·b=0则a⊥b；
• a⋅a=|a|2 或 |a|=a⋅a−−−−√2；
• cos<a,b>= a⋅b|a||b|；
• |a⋅b|≤|a||b|；

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向量与坐标系：

数量积的坐标表达式：

已知 a=（a1，a2），b=(b1，b2)。可以推断出：

a⋅b=a1b1+a2b2

如果a⊥b，则：

a1b1+a2b2=0

向量的长度公式：

已知a=（a1，a2），则：

|a|2=a⋅a=(a1，a2)⋅(a1，a2)=a21+a22

|a|=a21+a22−−−−−−√2

向量的距离公式：

如果A(x1,y1)、B(x2,y2)，则：

AB→=(x2−x1，y2−y1)

|AB→|=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2

向量的夹角公式：

已知 a=（a1，a2），b=(b1，b2)。可以推断出：

cos<a,b>=a1b1+a2b2a21+a22√2⋅b21+b22√2