cdq 三维偏序应用 / P4169 [Violet] 天使玩偶/SJY摆棋子

最近学了 cdq 分治想来做做这道题，结果被有些毒瘤的代码恶心到了。 /ll

题目大意：一开始给定一些平面中的点。然后给定一些修改和询问：

• 修改：增加一个点。
• 询问：给定一个点，求离这个点最近（定义为曼哈顿距离最小）的点离这个点的曼哈顿距离。（注意这个点并不加入平面）

其他细节详见 题目传送门 。

显然一开始给定的点可以看作是一开始的修改。现在就只有修改和查询了。

发现这里的曼哈顿距离有两个绝对值，考虑拆一下绝对值，显然我们可以拆出这个式子：

• 如果 \(A_x \le B_x,A_y \le B_y\)，也就是 \(A\) 在平面上面的距离在 \(B\) 的左下方，则 \(A\) 和 \(B\) 的距离 \(\text{dist}(A,B) = (B_x+B_y)-(A_x+A_y)\)。

那么该怎么处理其他方面的点呢：左上方、右下方、右上方？？？从左下方通过坐标变换旋转一下就可以同样处理了。所以我们现在只需要处理 \(A\) 在 \(B\) 的左下方的情况即可！

发现在这个式子里面，\(A\) 和 \(B\) 是独立的。如果 \(B\) 是一个询问的点，那么在其左下方的点中（\(A_x \le B_x,A_y \le B_y\)），若要使其询问的答案最小，显然需要使 \(A_x+A_y\) 的值最大，这个是可以预处理出来的。

而且还需要保证 \(A\) 的出现时间在 \(B\) 的前面。

这个时候我们梳理一下在 \(A\) 在 \(B\) 左下方的这种情况下，\(A\) 对 \(B\) 产生贡献的条件当且仅当：

• \(A_t \le B_t\)，也就是 \(A\) 在 \(B\) 前面出现。
• \(A_x \le B_x,A_y \le B_y\)，也就是 \(A\) 在 \(B\) 左下方。

这不就是三维偏序吗！！！！所以直接使用 cdq 三维偏序即可。

代码可能有点难写，但是有很长一段都是很基础的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;

struct que {
	bool f;
	int id, x, y;
} ori[N], val[N], a[N];
int n, m;
int mx = 0, my = 0;
int ans[N];

bool cmp1(que x, que y) {
	if (x.id != y.id)
		return x.id < y.id;
	if (x.x != y.x)
		return x.x < y.x;
	return x.y < y.y;
}

bool cmp2(que x, que y) {
	return x.x < y.x;
}

struct BIT {
	int tree[N];
	void clear(int pos) {
		for (; pos <= my; pos += pos & -pos)
			if (tree[pos])
				tree[pos] = 0;
			else
				return ;
	}
	void add(int pos, int val) {
		for (; pos <= my; pos += pos & -pos)
			tree[pos] = max(tree[pos], val);
	}
	int query(int pos) {
		int ans = 0;
		for (; pos; pos -= pos & -pos)
			ans = max(ans, tree[pos]);
		return ans;
	}
} st;

void cdq(int l, int r) {
	if (l + 1 == r)
		return ;
	int mid = (l + r) / 2;
	cdq(l, mid);
	sort(val + l, val + mid, cmp2);
	sort(val + mid, val + r, cmp2);
	int pos = l;
	for (int i = mid; i < r; i++) {
		if (val[i].f)
			continue;
		for (; pos < mid && val[pos].x <= val[i].x; pos++)
			if (val[pos].f)
				st.add(val[pos].y, val[pos].x + val[pos].y);
		int x = st.query(val[i].y);
		if (x > 0)
			ans[val[i].id] = min(ans[val[i].id], val[i].x + val[i].y - x);
	}
	for (int i = l; i <= pos; i++)
		st.clear(val[i].y);
	copy(ori + l, ori + r, val + l);
	cdq(mid, r);
}

int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int x, y;
		cin >> x >> y, x++, y++;
		ori[i] = {1, i, x, y};
		mx = max(mx, x), my = max(my, y);
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int op, x, y;
		cin >> op >> x >> y;
		x++, y++;
		mx = max(mx, x), my = max(my, y);
		if (op == 1)
			ori[i + n] = {1, i + n, x, y};
		else
			ori[i + n] = {0, i + n, x, y};
	}
	n += m, mx++, my++;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ans[i] = 1e9;
	copy(ori + 1, ori + n + 1, a + 1);
	//cdq
	sort(ori + 1, ori + n + 1, cmp1);
	copy(ori + 1, ori + n + 1, val + 1);
	cdq(1, n + 1);
	//---
	copy(a + 1, a + n + 1, ori + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ori[i].x = mx - ori[i].x;
	sort(ori + 1, ori + n + 1, cmp1);
	copy(ori + 1, ori + n + 1, val + 1);
	cdq(1, n + 1);
	//---
	copy(a + 1, a + n + 1, ori + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ori[i].y = my - ori[i].y;
	sort(ori + 1, ori + n + 1, cmp1);
	copy(ori + 1, ori + n + 1, val + 1);
	cdq(1, n + 1);
	//---
	copy(a + 1, a + n + 1, ori + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ori[i].x = mx - ori[i].x, ori[i].y = my - ori[i].y;
	sort(ori + 1, ori + n + 1, cmp1);
	copy(ori + 1, ori + n + 1, val + 1);
	cdq(1, n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (a[i].f == 0)
			cout << ans[i] << endl;
	return 0;
}