牛客-小阳的贝壳（线段树集合操作）

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/949/H

题目描述

小阳手中一共有 n 个贝壳，每个贝壳都有颜色，且初始第 i 个贝壳的颜色为 $\mathrm{coli\; 。现在小阳有\; 3\; 种操作：\; 1\; l\; r\; x：给\; [l,r]区间里所有贝壳的颜色值加上\; x\; 。\; 2\; l\; r：询问\; [l,r]区间里所有相邻贝壳\; 颜色值的差（取绝对值）\; 的最大值（若\; l=r\; 输出\; 0）。\; 3\; l\; r\; ：询问\; [l,r]区间里所有贝壳颜色值的最大公约数。}$

输入描述:

第一行输入两个正整数 $\mathrm{n,m，分别表示贝壳个数和操作个数。第二行输入\; n\; 个数\; coli，表示每个贝壳的初始颜色。第三到第\; m+2\; 行，每行第一个数为\; op，表示操作编号。接下来的输入的变量与操作编号对应。}$

输出描述:

共 m 行，对于每个询问（操作 2 和操作 3）输出对应的结果。

示例1

输入

5 6

2 2 3 3 3

1 2 3 3

2 2 4

3 3 5

1 1 4 2

3 2 3

2 3 5

输出

3

3

1

3

备注:

$\mathrm{1\le n,m\le 105,1\le coli,x\le 103,1\le opt\le 3,1\le l\le r\le n}$

 

这道题就是一道很基本的线段树的题目，但基本上把线段树的基础各种操作都放进去了。
我们知道，线段树维护和统计的东西要满足区间加法，而其中就包括了以下三个：

数字之和——总数字之和 = 左区间数字之和 + 右区间数字之和

最大公因数(GCD)——总GCD = gcd( 左区间GCD , 右区间GCD );

最大值——总最大值=max(左区间最大值，右区间最大值)

而这题全都包含了，所以可以当做一个比较好的板子。

以下是代码。

其中 __gcd 是c++库里的一个函数，跟手动gcd求最大公约数一样。

而求区间所有数的最大公约数的方法：

 

gcd(a,b)=gcd(a,b−a) 

gcd(a,b,c)=gcd(a,b−a,c−b) 

gcd(a1​,a2​,⋯,an​)=gcd(a1​,a2​−a1​,a3​−a2​,⋯,an​−an−1​) 

 

所以在这里我们建树的时候存的是原数列的差分序列，从而来维护最大公约数。

 

//https://ac.nowcoder.com/acm/contest/949/H
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
int a[N],Max[N<<2],Sum[N<<2],Gcd[N<<2];
void push_up(int rt){
    Max[rt]=max(Max[ls],Max[rs]);
    Sum[rt]=Sum[ls]+Sum[rs];
    Gcd[rt]=__gcd(Gcd[ls],Gcd[rs]);
}
void build(int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        Sum[rt]=a[l];
        Max[rt]=Gcd[rt]=abs(a[l]); //一开始每个节点存的是其差分绝对值
        return ;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    build(l,m,ls);
    build(m+1,r,rs);
    push_up(rt);
}
void update(int p,int add,int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        a[l]+=add;
        Sum[rt]=a[l];
        Max[rt]=Gcd[rt]=max(a[l],-a[l]);
        return ;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    if(p<=m) update(p,add,l,m,ls);
    else update(p,add,m+1,r,rs);
    push_up(rt);
}
int query_max(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L<=l&&R>=r) return abs(Max[rt]); //查询最大值
    int ans=0;
    int m=(l+r)>>1;
    if(L<=m) ans=max(ans,query_max(L,R,l,m,ls));
    if(R>m) ans=max(ans,query_max(L,R,m+1,r,rs));
    return ans;
}
int query_sum(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L<=l&&r<=R) return Sum[rt];
    int ans=0,mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid) ans+=query_sum(L,R,l,mid,ls);
    if(R>mid) ans+=query_sum(L,R,mid+1,r,rs);
    return ans;
}
int query_gcd(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L<=l&&r<=R) return Gcd[rt];
    int ans=0,mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid) ans=__gcd(ans,query_gcd(L,R,l,mid,ls));
    if(R>mid) ans=__gcd(ans,query_gcd(L,R,mid+1,r,rs));
    return ans;
}
int main(int argc, char * argv[]) 
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    int n,q,op,l,r,x;
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=n;i;i--) a[i]-=a[i-1]; //存差值来求最大公约数
    build(1,n,1);
    while(q--){
        cin>>op>>l>>r;
        if(op==1){
            cin>>x;
            update(l,x,1,n,1);
            if(r<n) update(r+1,-x,1,n,1);
        }
        else if(op==2){
            if(l==r) cout<<0<<endl;
            else cout<<query_max(l+1,r,1,n,1)<<endl;
        }
        else{
            int t=abs(query_sum(1,l,1,n,1));
            if(l==r) cout<<t<<endl;
            else cout<<__gcd(t,query_gcd(l+1,r,1,n,1))<<endl;
        }
    }
    return 0;
}