cf1624 F. Interacdive Problem

题意：

交互题。

给定 \(n\)，有一个未知整数 \(x\)，可以询问 + d，把 \(x\) 加上 \(d\) 并返回操作后 \(\lfloor \frac xn\rfloor\) 的值（注意 \(x\) 的值会被改变）

在不超过 \(10\) 次询问后猜出最后 \(x\) 的值

\(2<n\le 1000,1\le d<n\)，初始 \(1\le x<n\)

思路：

\(2^{10}\approx1000\) 所以显然是二分。（然后就不会了

记最开始的数是 \(x_0\)，我们二分求 \(x_0\)

设某次询问之前已经加了 \(s\)，二分猜一个 \(x_0=mid\)，现在准备询问 \(d=n-(mid+s)\mod n\)

那么如果真实的 \(x_0\ge mid\)，回答就是 \(\lfloor \frac {mid+s+d}n\rfloor\)；否则是 \(\lfloor \frac {mid+s+d}n\rfloor-1\)

最后答案是 \(x_0+s\)

还有一个问题：会不会越界？（\(1\le d<n\)）

观察 \(s\) 的变化：

开始 \(s=0\)，\(n>2\) 故 \(d=-mid_1\pmod n=n-\lceil n/2\rceil\) 不会越界，\(s=s+d=-mid_1 \pmod n\)；

然后 \(d=mid_1-mid_2\pmod n\)，其中 \(mid_1\) 表示上一次二分的中点，\(s=-mid_2 \pmod n\)；

然后 \(d=mid_2-mid_3\pmod n\)；以此类推。

所以每一步都不会越界。

void sol() {
    int n; cin >> n;
    int l = 1, r = n - 1, s = 0;
    while(l < r) {
        //这个mid的算法是为了跟后面的if-else配套
        int mid = (l + r + 1) >> 1, d = ((-s-mid)%n+n)%n;
        assert(d>0);
        cout << "+ " << d << endl;
        int ans; cin >> ans;
        if(ans == (mid+s+d)/n) l = mid; else r = mid - 1;
        s += d;
    }
    cout << "! " << l + s << endl;