CRT与EXCRT

中国剩余定理-模数之间两两互质

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
//中国剩余定理 CRT
int a[200000];
int r[200000];
int x,y;
void exgcd(int a,int b){
    if(b==0){
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    int tmp = x;
     x  = y;
     y = tmp - a/b*y;
    return;
}
signed main(){
    int k;
    cin>>k;
    int m = 1;
    for(int i = 1;i<=k;i++) cin>>a[i]>>r[i],m*=a[i];
    int ans = 0;
    for(int i = 1;i<=k;i++){
        if(a[i]==0){
             cout<<r[i];
             exit(0);
         }
        int tmp = m/a[i];
        exgcd(tmp,a[i]);
        ans = (ans + r[i]*x*tmp%m)%m;
    }
    cout<<(ans%m+m)%m;
}

拓展中国剩余定理-不保证模数之间两两互质，即逆元法不可用

数学证明见：https://www.luogu.com.cn/blog/blue/kuo-zhan-zhong-guo-sheng-yu-ding-li

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,mod[100009],yu[100009];

//要用快速乘（龟速乘），防止爆long long
ll qMul(ll a,ll b,ll mo){
    ll an = 0;
    while(b) {
        if(b&1) an =(an+a) % mo;
        a = (a+a)%mo;
        b>>=1;
    }return an%mo;
}

//扩展欧几里得算法，返回gcd(a,b),并计算出ax+by = gcd(a,b)中的x和y
ll exGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if( b == 0 ) { x = 1;y = 0; return a;}
    ll gcd = exGcd(b,a%b,y,x);  //注意x和y的顺序
    y = y - a/b*x;
    return gcd;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);//加速cin和cout
    cin>>n;
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin>>mod[i]>>yu[i];
    ll ans = yu[1],M = mod[1] ,t,y;  //ans表示前i-1个方程式的特解（余数），M为前i-1个方程式的模数的最小公倍数(i从2开始)
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        ll mi = mod[i],res = ((yu[i] - ans)%mi + mi)%mi;  //res是等式的右边部分，不能出现负数
        ll gcd = exGcd(M,mi,t,y);        //求出gcd(mi,M)
        if(res % gcd != 0) { cout<<-1<<endl;exit(0); }   //如果等式右边不能整除gcd，方程组无解
        t = qMul(t,res/gcd,mi);            //求出t还要乘上倍数，注意是快速乘取模mi (对谁取模要分清)
        ans += t * M;                               //得到前i个方程的特解（余数）
        M = mi /gcd * M;                         //M等于lcm(M,mi)，注意乘法要在除法后面做，否则会爆long long
        ans = (ans%M+M)%M;                //让特解范围限定在0~(M-1)内，防止会出现负数
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}