分组背包问题

1. [NOIP2006]金明的预算方案 https://ac.nowcoder.com/acm/problem/16671

• 题目描述
  金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：
  
  如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
  设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为：v[j1]w[j1]+v[j2]w[j2]+ …+v[jk]w[jk]。（其中为乘号）
  请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

• 题目分析
  可以将每个主件及其附件看作一个物品组，记主件为 p，两个附件为a, b,则最多一共有4种组合：

  1.p
  2.p, a
  3.p, b
  4.p, a, b
  这四种组合是互斥的，最多只能从中选一种，因此可以将每种组合看作一个物品，那么问题就变成了分组背包问题。

点击查看代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<memory.h>
#include<queue>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Max = 1e5 + 5;
int lst[Max];
int dp[65][Max];
int c[Max],v[Max],f[Max];
vector<int> vec[Max];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &c[i], &v[i], &f[i]);
        vec[f[i]].push_back(i);
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= n; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];//不选第i个物品
            if (f[i] != 0) continue;//不是主件不能选，跳过
            //是主件
            if (j >= c[i]) dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - c[i]] + v[i] * c[i]);//背包容量可以放下主件
            //枚举取一件附件的情况
            for (int k = 0; k < vec[i].size(); k++)
            {
                if (j >= c[i] + c[vec[i][k]]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - c[i] - c[vec[i][k]]] + v[i] * c[i] + v[vec[i][k]] * c[vec[i][k]]);
            }
            //如若存在两件附件，与容量足够，取主件与两件附件
            if (vec[i].size() == 2 && j >= c[i] + c[vec[i][0]] + c[vec[i][1]])
            {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - c[i] - c[vec[i][0]] - c[vec[i][1]]] + c[i] * v[i] + c[vec[i][1]] * v[vec[i][1]] + c[vec[i][0]] * v[vec[i][0]]);
            }
        }
    }
    cout << dp[m][n] << endl;
}