素数相关

• 欧拉筛法
• 用数组v[i]来记录这个数的最小质因子
• 依次考虑2-n这些数
• 如果v[i] = i，表示这个数为素数，把这个数存起来
• 否则，扫描所有小于等于v[i]的素数，令v[ip] = p,表示ip这个数的最小质因子是p，被p给筛掉了，这样每个合数就只会被筛一次

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//时间复杂度为O(n)
int prime[300010];
bool vis[4000010];
int cnt = 0;
void Euler_prime(int m)
{
	for(int i=2;i<=m;++i)
	{   
        if(cnt>200000) break;//控制打表的质数。
		if(!vis[i])
		{prime[++cnt]=i;vis[i] = true;}//vis[i]置为true或不置true都可以
		for(int j=1;j<=cnt;++j)
		{
			if(i*prime[j]>m)//判断是否越界
				break;
			vis[i*prime[j]]=true;//筛数
			if(i%prime[j]==0)//时间复杂度为O(n)的关键！
				break;
		}
	}
}
//质因数分解
for(int i = 1;i<=200000;i++)
{
                if(prime[i]>sqrt(x)) break;
               if(x%prime[i]==0) cout<<prime[i]<<" ";
               while(x%prime[i]==0){
                   x/=prime[i];
               }
        }
           if(x>1) cout<<x;//任意一个正整数n最多只有一个质因数大于根号n

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• 素数的性质

  1.1~n范围内的素数个数大约为n/ln(n)个
  2.素数的分布整体上来说随着数的增大而越来越稀疏，但存在局部的紧密。

• 算数基本定理
  何一个大于1的自然数 ，如果N不为质数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 ，这里
  这里均为质数，其诸指数是正整数。
  由这个定理易得一个数的正因子个数：
  全体正因子之和：

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例题

给定两个整数L,R,求[L,R]内相邻两个质数的最大差值,(L,R<=2^31)(R-L<=1e6).
首先考虑打表，但2e9范围内的素数太多，数组存不下。然后我们考虑暴力去判断区间内的每一个数是否是素数，使用朴素做法，时间复杂度为O(n√n),无法承受。
考虑优化朴素做法，判断一个数是否为质数，实际上只需要判断这个数能否被小于等于√n的素数整除，而不需要把每一个数去枚举一遍，这样只要把小于等于√2e9的素数打一个表，这样复杂度就是O(n+nlogn)，是可以承受的。

筛法例题

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/26656/1021

关注数据范围为1.3e7，nlogn刚好过不了，必须线性。

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
//筛法
int num;
const int mod = 1e9+7;
int qpow(int a,int cnt){
    int ans = 1;
    while(cnt){
        if(cnt&1) ans = (ans * a)%mod;
        cnt>>=1;
        a = (a*a)%mod;
    }
    return ans%mod;
}
int cnt = 0;
int vis[13000010];
int prime[2000000];
void euler(int n){
    for(int i = 2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            vis[i] = qpow(i,num);
            prime[++cnt] = i;
        }
        for(int j = 1;j<=cnt;j++){
            if(i*prime[j]>n) break;
            vis[prime[j]*i] = ((vis[i]%mod)*(vis[prime[j]]%mod))%mod;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
signed main(){
    cin>>num;
    euler(13000010);
    int ans = 1;
    for(int i = 2;i<=num;i++){
        ans = ans^vis[i];
    }
    cout<<ans<<endl;
}