线性基学习笔记

线性基可以维护一个数的集合，其值域为\(2^n\)，那么它数组的长度为\(log_{n}\)。
我们从集合里挑出一些数二进制下最高位为\(i\)的位置，然后把他放进去，数组中的每一个位置只有一个原来集合里的数，且其最高位为\(i\)。性质是原来集合每个数都可以被这个表示出来。

如何判断原集合中的数是否任意异或可以变成这个数呢？我们从高位向地位搞，如果第\(i\)位为1且线性基中没有数最高位为这个东西，那么我们就把这个东西插进去。万一线性基里没有这个数最高位为这个东西，但是这个数这一位为0呢？噢噢噢噢，我们线性基里面的数不一定要是原集合的数，还可以是原集合几个数异或起来，我们\(x\)能做到这里前面高位肯定消掉了，这样就做完了。这样我们就可以判断了。

会不会有其他的情况呢？想想正确性，如果有一个数不能被线性基，显然吧，上面也讲的很清楚了。

一个数和集合里面任意异或的最大值

从大往小做，如果\(x\)这位是0，那么从线性基里挑一个数出来，如果是1，那么就不操作
有个东西想证，就是我们这样贪心前面可能会影响到后面，会不会呢？
首先我们要保证高位最大，高位能不能通过取另外的东西来达到更大

最小值

从低位往上去，第一个是不是就是了，还要特判一下0
为什么不可能有更小的呢，如果有更小的，那么就会和这个异或，然后变成更低一位的，不合法

异或第\(k\)小

我们感觉可以和那个平衡树求rank来搞一下。
我们来进行一个对线性基的重构，我们想让每一位尽可能只留下小的1，那么如果我们一个数如果后面还留下了1，那么这些位置上线性基必然没有其他数，也就是只有这么一个数，这一位上有这么一个东西，然后所以我们重构出来的线性基里面貌似是不会有位是重复的，比如\(i\)和\(j\)都有\(k\)这一位，那么我们就把这两个东西异或一下，就得到了一个有\(i\)和\(j\)的东西。我们先证一个东西吧，也就是线性基里面任何一个自己异或和都不为0，显然是错的吧，\(i\)和\(j\)都有\(k\)这一位，那么如果我们的\(i\)最后处理没有\(k\)，那么也就是说\(j\)后面\(k\)出现的次数为奇数，那么\(j\)后面可以吗。\(i\) 消不掉\(k\)代表线性基里没有\(k\)这一项，数组中只有。

重新来证吧
一个大小为n的线性基能搞出\(2^n-1\)个数，且这\(2^n-1\)个数是互不相同的，所以我们直接进行一个关于排名的映射，也就是线性基里面异或出来第\(k\)大的数就是实际的第\(k\)大。证明，我们想要做的就是就是对于异或。

好像有点像到怎么证了

我们直接设线性基里面异或第\(i\)大的数为\(ii\)，第\(j\)大的数为\(jj\)，（\(i\) < \(j\)），我们设\(i\)和\(j\)在pos位上不同，那么\(i\){pos}就是0，\(j\)就是1，那么我们要证的就是我们异或前面的肯定比这个大，考虑我们构造的序列有什么性质，我们一个数，异或线性基里面任意一个数都会变大，所以里面异或的是那么我么前面。我们这里的\(j\)的pos只能由比较高的贡献到，而\(i\)没有贡献到，所以就证好了。结束，好难！

线性基合并

直接把一个线性基暴力插到另外一个线性基里面

一大坨题

[P3857]
直接统计线性基里面有多少位即可

[P4301]
后手胜当且仅当异或和为0，那么。错，我们现烧要构造一个集合没有子集异或和为0，还要和最小，那么就是保存在线性基里面的数和尽量大，所以我们降序排序，线性基插入的时候如果\(flag=1\)时加上就可以了

[P4570]同样的

[P11146]
摸一下交换的性质，swap(a,b)等价于a^=b,b=a,a^=b
没什么用，从题目入手
首先我们要得是两个二进制数中两个数不一样才能对答案产生影响，哦，我们\(l,r\)就相当于一个\(l,r\)都是1，其他都是0的二进制数，然后最终异或完，就变成了一个操作序列，代表这个东西要不要交换，然后再和初始的搞一下，也就是和某个数异或，任选集合里的一些数，能异或出来的最大值。我们建出来线性基，然后从高往低做，然后是不是就做完了。我们可以使用一点数据结构来维护这个东西？长度为2e5的线性基，每次插入都是插一个连续的二进制数，我们先排序？然后对于起始点相同的区间，我们按末尾从后往前排序，还能搞出从末尾开始的所有东西。不太对。

有些是直接随机化建线性基了。

但是又没有方法可以log呢，先排序，我们第一次插入的时候就是一个左端点，然后一坨右端点+1，然后到了下一个。

我们对于右端点排序，然后维护每个点往右跳能挑到哪里，然后就做完了

我们这个是连续的一段
11111000000
如果已经有一段了，那么必然就是
11100000000
然后前面消掉
00011000000
然后就到了新的一个，然后这个跳就是这个意思

然后发现就假了。具体而言，我们更新后面的时候没有更新前面的，所以我们使用并查集即可。

好题！

[P3265]
实数线性基，好的。
我们类似线性基搞一下就是最高位\(i\)有东西的向量。然后就是一位一位消。

[P3292]
对于一个询问的情况，考虑对于每一条路径建立线性基

哦，这个东西是树，仔细读题啊！

那么我们把询问离线，对于\(x->y\)的路径，把\(x\)到\(lca\)和\(y\)到\(lca\)的线性基合并。所以我们枚举\(lca\)，然后有子树大小个线性基，然后启发式合并即可。

具体而言，我们使用开一个set，然后里面存的是下标，然后对应的线性基。我们把询问挂在\(lca\)上，然后对于所有询问，直接做即可。哦！但是我们怎么给所有线性基都插入呢？假！

发现这个东西瓶颈在于合并，是一个\(O(\sum size)\)的东西，考虑使用点分治优化，我们建出点分树，然后就是暴暴又力力了，直接合并即可。

有点忘记点分治的正确性了。我们点分树的性质是点分树上两点的 \(lca\) 一定在这两点在原树上的路径上。然后这题就是对的了。我们搞到点分树上的\(lca\)时挂的询问时，我们的路径一定能拆成这两个东西了。完蛋了，点分治白学了。

首先如果一个点同时是点分树内\(x\)的子树。这不是很简单吗，\(x,y\)的\(lca\)在\(u\)，那么\(u\)里面就有两个子树分别包含\(x\)和\(y\)，然后路径就经过\(u\)了，所以这题就做好了。晚上开工！不会啊，难道要开线性基搞了？

哦，我写的点分治复杂度应该是对的，虽然但是错的写法树高是2log的。

对的写法

哎。想不到啊！

关于对的写法，只需在每次递归下去的时候再get一下\(siz\)即可，因为是dfs所以没有什么关系。

[P4151]
想维护到达每个点的所有路径的异或和。啊，不对。
看题解。
好像要从路径这个角度来考虑。我们一条路径必然是一条链加上一坨环，这个环可能还比较奇怪，会套来套去，就是一个大环套一个小环的情况。
首先我们线性基里面存的是所有小环的异或和，同时，我们要保证图中的所有环都能被表示出来，那么我们线性基里面的环就可能重复。不妨从dfs树的角度来考虑。对于每一条返祖边，我们\(dis[x]^dis[y]\)就代表一个环，这个是显然的。然后我们要证明对图中的每一个环都可以异或得到，显然吧！对于那种小的就是那种环什么什么烷一样的环，我们肯定统计到了，然后图中所有的环都是有这个组成的，因为异或的美妙性质，然后就做完了。
自己证点东西吧。首先我们最优的方案必然可以由图中任意一条从\(1\)到\(n\)的路径得到。我们只要另选一个包含最优路径和这条路径的环（都以\(1\)开头\(n\)结尾）然后就做完了。eazy嗷。

[P3733]
最后一题。
沿用上一题的思路，就是维护图中所有环。我们新加进来的边肯定会新加进来一个环，所以就变成了线dfs一下，然后l,r时间线性基加入dis[x]^dis[y]w。考虑使用线段树分治，然后就变成了线性基插入和删除一个数，不会。要吗？我们直接分治的思想是不是就做完了，就是我们每一层都存下来当前的线性基，这个时间复杂度是\(n * log_{n} *len\)的，啊？那就是可撤销线性基，这个东西简单的。

可删除线性基：
在线多个log，先讲离线。
我们已经知道每个数什么时候删除了，我们按照贪心的维护方式，肯定想在高位维护删除时间晚的东西。所以我们每插入一个数，如果这个位置上\(i\)更优了，那么我们就把线性基上这一位的数和这个数swap一下，时间也要swap，然后就做好了，我们保证了每一时刻都是最优的，这样可以少一只log。

在线，题解怎么说得这么奇怪
我们开vis数组，如果\(x\)不在线性基里面，那么直接删掉
否则我们就要找替代了
那么我们线性基，是可以删除的。
维护哪些数在线性基中，以及维护的每个线性基如何用它们表示，还有不在线性基中的数如何表示。
在插入一个数时，如果插入失败了，那么就有一个集合异或起来为0，记录为\(S\)

删除一个数x时，分类讨论。若这个数不在线性基中，直接删除即可。
否则，就要消除它的影响。如果有一个\(S\)包含\(x\)且\(x\)不提供最高位，那么就用那个集合\(\oplus x\)替换\(x\)，对于线性基里面所有东西都要更新一下。
如果找不到，那么说明只剩\(x\)作为最高位的集合了，我们将这个集合异或\(x\)，然后重新插入即可。
code
不想写了