左偏树+笛卡尔树

左偏树/可并堆

外部点:左儿子或右儿子为空的节点
\(dis_{x}\)：距离 \(x\) 最近的外部点
性质:

1. 小根堆
   就是要维护这个的
2. 距离为 \(n\) 的左偏树至少有 \(2^{n+1}-1\) 个节点
   否则必然会有一个节点距离 \(<n\)
3. \(n\) 个点的左偏树树高为 \(log\)
   维护保证了，结合上面理解。
   后来周邦在课上拷打我了，这该怎么办呢？
   我们发现 \(merge\) 是和 \(dis\) 相关的，所以就做完了
   合并：
   正常堆合并参考 fhq 的 \(merge\)，随机选一个儿子合并，期望是 \(log\) 的
   左偏树中左儿子距离>右儿子距离，那么将右儿子合并
   然后挑一个 \(dis\) 小的儿子并上去

支持操作:
合并，删除最小数（合并左右子树），求最小值

int merg(int x,int y){
    int xi=get(x),yi=get(y);
    push_down(xi),push_down(yi);
    return fa[xi]=fa[yi]=merge(xi,yi);
}
int del(int x){
    x=get(x);
    push_down(x);
    return fa[x]=fa[son[x][0]]=fa[son[x][1]]=merge(son[x][0],son[x][1]);
}

笛卡尔树

我们的单调栈维护的是从根的右链，然后注意一下就可以了。

性质

你的脑子好像不是特别好
\(lca(l,r)\) 的值是 \([l,r]\) 的最大值。
考虑证明，首先 \(lca(l,r)\) 上面的点不可能成为最大值，因为 \(l,r\) 都在上面那个点的左边或者右边（根据按照下标的二叉搜索树的性质）然后 \(lca(l,r)\) 一定在 \(l\) 和 \(r\) 之间，怎么证明。很简单啊，\(l,r\)分别在 \(lca(l,r)\) 的左右两棵子树中