hall 定理学习笔记

万恶之源

基本定义

完美匹配是指最大匹配数为\(min(|X|,|Y|)\)
也就是\(X\)或\(Y\)集合其中一个集合所有点都被匹配了。

定理内容

我们来假设\(X\)集合点少一点好了。\(X\)集合就当做有\(n\)个点。
那么二分图\(G\)存在完美匹配，则取任意正整数\(1<=k<=n\)，均满足我从\(X\)集合选出\(k\)个不同的点，那么它们连向的\(Y\)集合的点个数不小于\(k\)。

证明

我只会一些乱来的证明，但是是严谨的

必要性

假如一个二分图\(G\)存在完美匹配，且不满足Hall定理。
那么对于某\(k\)个点，它们连向的都不足\(k\)个点。
那么它们是怎么都被匹配上的？？？
很显然必要性正确。

充分性

假如一个二分图\(G\)不存在完美匹配，且满足Hall定理。
那么假如有一种最大匹配的方案，既然不存在完美匹配，可以找到至少一个未被匹配的点。
因为这个二分图满足Hall定理，所以这个点一定连向了至少一个点。
假如这个点不在最大匹配中，如果连向了在\(Y\)集合内最大匹配内的点，那么就不符合hall定理。
那如果连向了在\(Y\)集合内最大匹配外的点，那么这就不是最大匹配。
那么这个点在最大匹配中！所以一定有一个点和它匹配了。
看懂了吧！我们一定能推出矛盾！
所以充分性正确。

题目

没想到有生之年还能遇到这个东西网络流里面的Gym105833F，提出拓展 hall 定理，如果对于任意 \(k\) 个点都连了至少 \(pk\) 个点，那么就有 \(p\) 个完美匹配