Codeforces Round #956 (Div. 2) and ByteRace 2024

A

• 发现输出1~n符合结论

B

• **猜结论题，直接卡死俩小时，大号卡成小号了（其实还是自己菜唉唉）

C

• 实际上就是把整个数组划成三段，而三个人对这三段的占有情况可以用全排列函数生成一下，如果发现最后的cur大于数组长度就可以标为不合法。

D

• 卡死B后最后剩了半小时看了下，蛮好做的，但是也挺结论，可以发现这个交换的策略和数组具体元素一点关系没有，我们完全可以认为a数组是一个1~n的全排列数组，那么用pb数组表示b数组映射到a数组上对应到a数组的下标，浅猜了一下，发现其实就是查pb数组中逆序对的个数，赛后两分钟交了两发，一发RE一发过了。

F

• 先写个前置知识：

字典树解决区间最大异或对问题

• 我们考虑用字典树记录数组中每个数对应的二进制串，之后依次遍历数组中每一个数，寻找其能够与数组中另一个数能够异或出的最大值。
• 本题构建出的trie树和经典trie树大体一致，需要注意的是由于重复数字不会影响答案，所以我们不需要cnt数组来存储节点对应插入次数。
• find函数使用了贪心的思想，我们从高位往低位在trie树里搜索，一旦当前位能够异或出1（即trie[now][t ^ 1] != 0，我们就可以有now = trie[now][t ^ 1]，显而易见这种选择总是最优局面的决策。
• 例题：最大异或对 The XOR Largest Pair
• 例题代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <list>
#include <random>
#include <bitset>
#include <tuple>
#include <iterator>

#define int long long
typedef std::pair<int, int> PII;

std::mt19937 rd(114514);

const int N = 1e5 + 10;

int mvx[4] = {1, -1, 0, 0}, mvy[4] = {0, 0, 1, -1};
int n, a[N];
int idx = 0;
int trie[N * 32][2];
void insert(int x) {
	int now = 0;
	for (int i = 31; i >= 0; i --) {
		int t = (x >> i) & 1;
		if (!trie[now][t]) {
			trie[now][t] = ++idx;
		}
		now = trie[now][t];
	}
}

int find(int x) {
	int now = 0, ans = 0;
	for (int i = 31; i >= 0; i --) {
		int t = (x >> i) & 1;
		if (trie[now][t ^ 1] != 0) {
			ans |= (1LL << i);
			now = trie[now][t ^ 1];
		} else {
			now = trie[now][t];
		}
	}

	return ans;
}
signed main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(0);
	std::cin >> n;
	for (int i =1 ;i <= n; i ++) {
		int x;
		std::cin >> x;
		a[i] = x;
		insert(x);
	}

	int max = 0xc0c0c0c0c0c0c0c0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		max = std::max(find(a[i]), max);
	
	}
	std::cout << max << std::endl;
	return 0;

}

题解部分

• 看到求第k大的The value of a sub-array，很自然想到二分。
• 我们在check函数中要求的其实是小于等于mid的The value of a sub-array有几个。我们发现按照题面对于The value of a sub-array的定义，如果我们固定住一个r，那么随着l的减小，这个子区间的The value of a sub-array是非严格递减的。所以我们可以遍历a数组，对于a[i]，找到它对应的The value of a sub-array小于等于mid的所有子区间中最大的l，为了完成这个find操作，我们需要在每一个a[i] insert时往insert函数中传入一个时间戳参数，用一个dp数组记录每个节点的最近更新的时间。最后需要注意的是当我们遍历f数组，也就是每个r对应的最大l时，由于a[r]并不一定是The value of a sub-array的\(a_i\)和\(a_j\)中的其中之一，我们需要记录f[i]为f数组在1~i的最大值。
• 求出所有子区间中The value of a sub-array小于等于mid的子区间个数sum后，我们需要注意一下二分的逻辑：按照题意我们要求的是第k大个The value of a sub-array，我们是按值二分的，那么这个要求就可以等价为sum 大于等于k的mid集合中的最小值。