3DGIS(3D GIS)

研究OpenGL,DirectX 3D,GPU和GIS

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      继续讲解3D空间下直线与平面的交点,点到平面的距离,直线到平面的距离,3D空间下两平面相交形成的交线等内容。求解过程中,未知顶点以参数方式表达,并依照矢量点乘和叉乘的性质列出方程求取结果,此技术思路符合实际工作中的初始条件,并且计算过程较快捷。

      3D空间下直线与平面的交点

       
    平面的已知条件为其法向量N(若法向量未知,可通过平面上任意两条直线矢量的叉乘求得),及其上任意一点Pon,直线的已知条件为其上两顶点P1P2,现在要求此直线与平面的交点Pt,还是依照点乘与叉乘的定理这个思路来解决问题。

           Pt = P1 + t(P2 P1);现在求取参数t的大小;

       因为Pt也是平面上的顶点,则矢量Pt Pon与法向量的点乘为0,可列方程:

                             (Pt Pon) N = 0

                             (P1 Pon) N + t(P2 P1) N = 0

                             t = (P1 Pon) N /(P2 P1) N

       若分母(P2 P1) N = 0,则说明直线垂直于法向量,与平面是平行的,将无交点。若分子(P1 Pon) N = 0,则说明直线上的顶点与平面上顶点构成的向量垂直于法向量,即此顶点为交点或这个直线位于平面上。

参考代码

//    输入: 直线上的两个顶点p1, p2;平面的法向量和其上任意一顶点 pNormalofPlane

//    输出:  若存在的话,输出直线与平面的交点 *I0

//   Return: 0 代表没有交点

//            1 代表存在唯一的交点 *I0

//            2 代表直线上顶点为交点或整个直线位于平面上

int CDEMAlgorithm::Intersect3D_LinePlane( XYZ p1,XYZ p2, XYZ pNormalofPlane, XYZ pOnPlane,XYZ* I )

{   Vector    u = p2 - p1;

    Vector    w = p1 - pOnPlane;

    double     D = Dot(pNormalofPlane, u);        //点乘

    double     N = -Dot(pNormalofPlane, w);       //点乘

    if (fabs(D) < EPS) {                 // 直线与平面平行

        if (N == 0)                     // 顶点为交点或这个直线位于平面上

            return 2;

        else

            return 0;                   // 交点不存在

    }

    double t = N / D;

   

    *I = p1 + t*(p2 - p1);           // compute segment intersect point

    return 1;

}

点到平面的距离

       点到平面的距离问题可转化为首先求垂心,再求两顶点之间的距离。

      
       平面的已知条件为其法向量N,及其上任意一点Pon,已知一顶点P1,现在要求此顶点到平面的垂线交点Pt

       因为矢量PtP1垂直与平面,而垂直于平面的法向量为N,所以可将Pt设定为:

               Pt = P1 + tN;现在求取参数t的大小;

       因为Pt也是平面上的顶点,则矢量Pt Pon与法向量的点乘为0,可列方程:

               (Pt Pon) N = 0

               (P1 Pon) N + tN N = 0

               t = (P1 Pon) N /N N

       若分子(P1 Pon) N = 0,则说明顶点与平面上顶点构成的向量垂直于法向量,即此顶点位于平面上,Pt = P1

       参考代码与上面介绍的函数类似。

3D空间下直线到平面的距离

       有前面介绍的内容后,求取3D空间下直线到平面的距离变得容易,在判断直线不完全落在平面上或与出现与平面相交的情况后,即此直线将与平面平行。取直线上任意一顶点,按照介绍的点到平面的距离方法,可求得直线到平面的距离。

                                                                                                    
        
      3D空间下两平面相交,一般形成交线。

交线既同时属于两个平面,则垂直于这两个平面的法向量,计算两个法向量的叉乘(前面已经证明,叉乘形成的矢量垂直于此两矢量),即为这条交线的方向。再找到这条交线上的一个顶点,可确定直线方程。

                          
     设两平面上的已知顶点为PsPt,法向量为UV,要寻找的交线上的顶点为Pw,由于平面上的顶点相减得到的矢量与法向量点乘为0,有方程组:

       ( Pw Ps) U = 0

       ( Pw Pt) V = 0

       此方程组含有两个方程,但3个未知数(Pwxyz轴数值),可令其中一个数值为0,从而求解方程组,得到另外两个未知数。

       不妨设z = 0,可求得,

                                            x = (V y PsUUy PtV) /(UxVy- VxUy)

                                            y = (V x PsUUx PtV) /(UyVx- VyUx)

                                            z = 0

       从几何上解释是,此顶点就是两平面和平面Z=0 交点。若两平面中有与平面Z=0情况出现,可以调整为与平面X = 0Y = 0相交。

       参考代码

//   输入: 两个平面,分别指定一个顶点和法向量

//   输出 : 若存在的话,将输出一条直线

//    Return: 0 表示没有交线

//            1 表示两个平面共面

//            2 表示能得到一条唯一的交线

int CDEMAlgorithm::Intersect3D_2Planes( XYZ pNormalofPlane1, XYZ pOnPlane1, XYZ pNormalofPlane2, XYZ pOnPlane2, XYZ Linep1,XYZ Linep2 )

{

    XYZ   u;

u.x = pNormalofPlane2.y * pNormalofPlane1.z - pNormalofPlane2.z*pNormalofPlane1.y;         u.y = pNormalofPlane2.x * pNormalofPlane1.z - pNormalofPlane2.z*pNormalofPlane1.x;

u.z = pNormalofPlane2.x * pNormalofPlane1.y - pNormalofPlane2.y*pNormalofPlane1.x;         //以上三步,求得两个法向量的叉乘,即交线的方向矢量

    double    ax = (u.x >= 0 ? u.x : -u.x);               //取正数

    double    ay = (u.y >= 0 ? u.y : -u.y);

    double    az = (u.z >= 0 ? u.z : -u.z);

    //检测两平面是否能有交线

    if ((ax+ay+az) < EPS) {    

        // 检测是共面还是平行

        XYZ   v = VectorSub(pOnPlane2,pOnPlane1);//将两平面上的已知顶点相减

        if (Dot(pNormalofPlane1, v) == 0)     //两平面上的顶点相减,形成的矢量与法向量垂直,说明共面

            return 1;                   // 两平面是共面的        

        else

            return 0;                   // 两平面是平行的,没有交线

    }

   

    int      maxc;         

    if (ax > ay) {

        if (ax > az)

            maxc = 1;

        else maxc = 3;

    }

    else {

        if (ay > az)

            maxc = 2;

        else maxc = 3;

    }                    //以上工作是:找到叉乘向量中的最大分量

    // 找到两个平面形成的交线上的一点

    // 让三个未知数中的一个为0,求另外两轴的未知数

    XYZ    iP;               // 将要求得的顶点

    double    d1, d2;         

    d1 = -Dot(pNormalofPlane1, pOnPlane1); // 为前面分析工作中的 - PsU

    d2 = -Dot(pNormalofPlane2, pOnPlane2); // 为前面分析工作中的 - PtV

    switch (maxc) {            // 根据最大的分量来确定哪根轴的数值为0

    case 1:                    // 与x=0平面相交

        iP.x = 0;

        iP.y = (d2*pNormalofPlane1.z - d1*pNormalofPlane2.z) / u.x;

        iP.z = (d1*pNormalofPlane2.y - d2*pNormalofPlane1.y) / u.x;

        break;

    case 2:                    // 与 y=0平面相交

        iP.x = (d1*pNormalofPlane2.z - d2*pNormalofPlane1.z) / u.y;

        iP.y = 0;

        iP.z = (d2*pNormalofPlane1.x - d1*pNormalofPlane2.x) / u.y;

        break;

    case 3:                    // 与 z=0平面相交

        iP.x = (d2*pNormalofPlane1.y - d1*pNormalofPlane2.y) / u.z;

        iP.y = (d1*pNormalofPlane2.x - d2*pNormalofPlane1.x) / u.z;

        iP.z = 0;

    }

    Linep1 = iP;                             //交线上的一个顶点

    Linep2 = VectorAdd(iP , u);              //交线上的另外一个顶点

    return 2;
}

posted on 2008-03-12 11:07  武汉侯涛  阅读(3233)  评论(2编辑  收藏  举报