在前面两节探讨的基础上,利用已知空间顶点坐标情况下，以矢量点乘和叉乘为基础，继续讲解三维空间中两条直线之间的距离,二维平面上任意凸多边形的面积, 三维空间中凸多边形的面积等方面的应用和程序编写工作。
三维空间中两条直线之间的距离
两条直线分别设置为P0P1，P2P3；
找到直线上的两个点Pt，Ps；Pt= P0 + t(P1 – P0) ；
Ps = P2 + s(P3 – P2) ；
两条直线之间的距离定义为它们之间的最短距离，可得知PtPs垂直于P0P1和P2P3。由上两节讲解得到的结论：两矢量互相垂直，则点乘为0，可得：
(Ps –Pt) •(P1 – P0) = 0；
(Ps –Pt) •(P3 – P2) = 0；
令U = P1 – P0；V = P3 – P2；则 (P2 + sU– P0 – tV) •U = 0；
(P2 + sU– P0 – tV) •V = 0；
再另W = P2 – P0； 则 W•U + sU•U – tV•U = 0；
W•V + sU•V – tV•V = 0；
考虑到：U•U = |U|2
V•V = | V |2
V•U = U•V
解方程组，得系数：
s = ((W•V)( U•V) – (W•U) | V |2) / ( |U|2| V |2 – (U•V)2)
t = ((W•V) |U|2 – (W•U)( U•V) )/ (|U|2| V |2 – (U•V)2)
分母|U|2| V |2 – (U•V)2 若等于0，则说明两直线的夹角a的余弦为1，即两直线的夹角为0度，为互相平行。此时，不采用此公式计算，只需要在一条直线上任意取得一点，计算此点到另一直线的距离，即为两直线之间的距离。
参考代码：
double CDEMAlgorithm::dist3D_Line_to_Line( Line L1, Line L2)
{
Vector u = L1.P1 - L1.P0;
Vector v = L2.P1 - L2.P0;
Vector w = L1.P0 - L2.P0;
double a = Dot(u,u); // 点乘的结果
double b = Dot(u,v);
double c = Dot(v,v);
double d = Dot(u,w);
double e = Dot(v,w);
double D = a*c - b*b;
double sc, tc;
// 在我们已经推导后，计算参数
if (D < EPS) { // 两条线平行
sc = 0.0;
tc = (b>c ? d/b : e/c);
}
else {
sc = (b*e - c*d) / D;
tc = (a*e - b*d) / D;
}
//sc,tc分别指示了在两条直线上的比例参数
Vector dP = w + (sc * u) - (tc * v); //得到两顶点构成的矢量
return sqrt(Dot(dP,dP)); // 返回两顶点直接的距离
}
二维平面上任意凸多边形的面积
由上两节讲解得到的结论：P0x P1y – P0y P1x = | P0O | | P1O |sina，将此数值除以2，即得到三角形P0O P1的面积，在顶点依照顺或逆时针排好序后，依次计算每两个顶点与原点构成的三角形面积，由于面积带正负号（由方向决定的），求总和（将抵消一部分），最后得到多边形的面积。
参考代码：
// 输入: int n = 多边形的顶点个数
// Point* V = 记录 n+2 个顶点的数组
// with V[n]=V[0] and V[n+1]=V[1] //请注意在计算面积时，设置的顶点最后两个与最前两个重复
// 返回: 多边形的面积数值
double CDEMAlgorithm::area2D_Polygon( int n, Point* V )
{
double area = 0;
int i, j, k; // 索引
//(x0y1 - x1y0) + (x1y2 - x2y1) + (x2y3 - x3y2) ....
for (i=1, j=2, k=0; i<=n; i++, j++, k++) { //通过合并中间的项，可推出下面使用的公式计算面积（带符号）
area += V[i].x * (V[j].y - V[k].y);
}
return area / 2.0;
}
三维空间中凸多边形的面积
将多边形投影到某坐标面上，转换成2D平面的多边形面积问题后，将求得的投影面积再除以cosa，a为原始多边形与投影多边形的夹角。
参考代码：
// 参数：顶点N指示平面的法向量
double CDEMAlgorithm::area3D_Polygon( int n, Point* V, Point N )
{
double area = 0;
double an, ax, ay, az;
int coord;
int i, j, k;
// 选择法向量中的最大数值
ax = (N.x>0 ? N.x : -N.x); //绝对值
ay = (N.y>0 ? N.y : -N.y); //绝对值
az = (N.z>0 ? N.z : -N.z); //绝对值
coord = 3;
if (ax > ay) {
if (ax > az) coord = 1;
}
else if (ay > az) coord = 2; //平面的法向量的哪个轴数值最大，则准备在计算面积时候，投影到另外两根轴构成的平面上。
for (i=1, j=2, k=0; i<=n; i++, j++, k++)
switch (coord) { //首先计算二维投影平面上的面积
case 1:
area += (V[i].y * (V[j].z - V[k].z));
continue;
case 2:
area += (V[i].x * (V[j].z - V[k].z));
continue;
case 3:
area += (V[i].x * (V[j].y - V[k].y));
continue;
}
// 还原到原始面积
an = sqrt( ax*ax + ay*ay + az*az);
switch (coord) {
case 1:
area *= (an / ax);
break;
case 2:
area *= (an / ay);
break;
case 3:
area *= (an / az);
}
return area/2;
}
