物理光学（1）光的电磁理论基础

光的电磁性质

1、麦克斯韦方程组

发展历程：
麦克斯韦方程组以一种近乎完美的方式统一了电和磁，并预言光就是一种电磁波。
1820年，奥斯特发现通电的导线使小磁针发生偏移，即电流的磁效应。
于是乎问题就来了：通电导线既然能让小磁针发生偏移，那一定是产生了磁场，那么这个磁场是怎么分布的呢？在不同位置的磁场方向和磁场强度又是怎样的呢？

于是毕奥、萨伐尔在拉普拉斯的帮助下就找到了电流在空间中产生磁场大小的定量规律，即毕奥-萨伐尔定律：

毕奥-萨伐尔定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。这电流是连续流过一条导线的电荷，电流量不随时间而改变，电荷不会在任意位置累积或消失；
I 是源电源，L 是积分路径，dL 是源电源的微小线元素，向量er 为电流元指向待求场点的单位向量；
dB 的方向垂直于Idl 和向量er 所确定的平面，当右手弯曲，四指从方向沿小于180度角转向r 时，伸直的大拇指所指的方向为dB 的方向。
ps：延伸一下，空间中有通电线圈，Idl 为线圈上的任意一小段，设r 为线圈内任意位置，则er 永远指向线圈内，两者构成的平面即线圈所在平面，dB 垂直于这一平面，也就是垂直于线圈（怎样决定向里还是向外还没理解）。

两个月后，安培就发现了更简单更实用的计算方式，即安培环路定理：
！！！！还不理解！！！！

后来又进一步地提出了右手螺旋定则又叫安培定则。

1831年，法拉第发现变化的磁场会产生电场，即电磁感应定律。

问题：根据安培环路定理或者更以前的毕奥-萨伐尔定律可以得到电流周围磁场的情况，即大小和方向。但是如果没有电流或者没有电流的载体————导线呢？
思路：既然，变化的磁场可以产生电场，那么变化的电场能不能产生磁场呢？安培环路定理中没有对这一部分进行描述，so这就是安培环路定理的缺陷之处。

接下来麦克斯韦对这一部分的工作进行了补充；
麦克斯韦方程组是描述电磁的方程组，其逻辑为：方程1描述电；方程2描述磁；方程3描述磁生电；方程4描述电生磁。
That's all.

来看电荷，库伦发现了两种电荷及其之间的关系，其相互作用力与相隔距离的平方成反比，至于“为什么大自然热爱‘平方反比’”，引用一个有意思的想法：

这个跟引力的效果是一样的，引力也是距离扩大为原来的两倍，引力的大小减少为原来的四分之一。为什么大自然这么偏爱“平方反比”规律呢？因为我们生活在一个各向同性的三维空间里。
什么意思？我们可以想想：假设现在有一个点源开始向四面八方传播，因为它携带的能量是一定的，那么在任意时刻能量达到的地方就会形成一个球面。而球面的面积公式S=4πr²（r为半径），它是跟半径的平方r²成正比的，这也就是说：我们同一份能量在不同的时刻要均匀的分给4πr²个部分，那么每个点得到的能量就自然得跟4πr²成反比，这就是平方反比定律的更深层次的来源。
因此，如果我们生活在四维空间里，我们就会看到很多立方（三次方）反比的定律，而这也是科学家们寻找高维度的一个方法。许多理论（比如超弦理论）里都有预言高维度，科学家们就去很小的尺度里测量引力，如果引力在一个很小的尺度里不再遵循平方反比定律，那就很有可能是发现了额外的维度。

库伦只是用大量实验证明了电荷间的作用力存在，并且找到了定量计算公式，但是并没有说明力是如何传递的，那么是如何传递的呢？有人说是以太，法拉第说是力线，是一种客观存在，后来就转变为我们称作的场。

那么从一个电荷到一个带电体进行延伸，我们可以算出一个电荷周围的电场强度，那么怎样可以得到一个带电体的电场呢？
我们固然可以通过将它微分为无数个电荷，分别计算电场后再积分，但是太过于麻烦，于是我们就遵循前人寻找规律的方法：寻找不变量！

引例：在一个水龙头的出口处装一个喷头，让水龙头向周围的空间喷射水流（就像正电荷喷射电场线一样），然后我用一个完全透水（水能够自由的穿过塑料袋）的塑料袋把水龙头包起来。那么，从水龙头出来的所有的水都必须穿过这个塑料袋，然后才能去其他地方，穿过这个塑料袋的表面是所有水的必经之路。
这个看似平常的现象后面却隐藏了这样一个事实：无论塑料袋有多大，是什么形状，只要你是密封的。那么，从水龙头流出的水量就一定等于通过这个塑料袋表面的水量。
从这里，我们就抽象出来了一个非常重要的概念：通量。通量，顾名思义，就是通过一个曲面的某种流量，通过塑料袋表面的水的流量就叫塑料袋的水通量。这样上面的例子我们就可以说成水龙头的出水量等于塑料袋的水通量了。

现在把水龙头换成一个正电荷，我们还是用一个完全透电（对电没有任何阻力）的塑料袋套住一个正电荷，那会发生什么呢？水龙头的喷头散发的是水流，正电荷“散发”的是电场线；通过该塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那么电场线通过塑料袋的数量自然就叫塑料袋的电通量。对于水通量，我们知道它等于水龙头的出水量，那么塑料袋的电通量等于什么呢？
我们知道，之所以会有电场线，是因为空间中存在电荷。而且，电荷的电量越大，它产生的电场强度就越大，电场线就越密，那么穿过塑料袋的电场线的数量就越多，对应的电通量就越大。所以，我们虽然无法确定这个电通量的具体形式，但是可以肯定它一定跟这个塑料袋包含的电荷量有关，而且是正相关。
这就是在告诉我们：通过一个闭合曲面的电通量跟曲面内包含电荷总量是成正比的，电荷量越大，通过这个任意闭合曲面的电通量就越大，反之亦然。这就是麦克斯韦方程组的第一个方程————高斯电场定律的核心思想。

高斯电场定律的核心思想：通过一个闭合曲面的电通量跟曲面包含的电荷量成正比。那么，我们要怎么样把这个思想数学化呢？电荷的总量好说，就是把所有电荷的带电量加起来，那么通过一个闭合曲面的电通量要怎么表示呢？

情况1：均匀电场E，平面（面积为a）垂直于电场方向，则电通量Φ=|E|×a；
情况2：有了一个倾角θ，则电通量Φ=|E|×a×cosθ；
当前情况：我们把一个球面分割成了很多块，这样每一个小块就变成了一个长为dx，宽为dy的小方块，这个小方块的面积da=dx·dy。如果这个小块的电场强度为E，那么通过这个小块的电通量就是E·da。如果我们我们把这个球面分割成了无穷多份，那么把这无穷多个小块的电通量加起来，就能得到穿过这个曲面的总电通量。

一个小块da的电通量是E·da，那么我们就可以用下面的符号表示通过这个曲面S的总电通量：

方程1：高斯电场定律

库伦定律从点电荷的角度描述静电，而高斯电场定律则从通量的角度来描述静电，为了描述任意闭合曲面的通量，我们不得不引入了微积分的思想。我们说电通量是电场线通过一个曲面的数量，而我们也知道磁场也有磁感线，那么，我们是不是也可以类似建立磁通量的概念，然后在此基础上建立类似的高斯磁场定律呢？

方程2：高斯磁场定律

将磁感线通过一个曲面的数量定义磁通量。因为磁场线的密度一样表征了磁感应强度的大小。所以不难理解，我们可以仿照电场把磁感应强度为B的磁场通过一个平面a的磁通量Φ表示为Φ=B·a。
根据上面电场里使用的微积分思想，类比通过闭合曲面电通量的作法，可以把通过一个闭合曲面S的磁通量表示为：

可以类比高斯电场定律的思想“通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比”，建立一个高斯磁场定律，它是核心思想似乎就应该是：通过闭合曲面的磁通量跟这个曲面包含的“磁荷量”成正比。
但是设想一下：如果在这个闭环里画一个闭合曲面，那么结果肯定就是有多少磁感线从曲面进去，就肯定有多少跟磁感线从曲面出来。因为如果有一根磁感线只进不出，那它就不可能是闭合的了。
所以这就意味着你进去的磁通量跟出来的磁通量相等，那么最后这个闭合曲面包含的总磁通量就恒为0了。这就是麦克斯韦方程组的第二个方程——高斯磁场定律的核心思想：闭合曲面包含的磁通量恒为0。
高斯磁场定律的数学表达式为：

方程3：法拉第定律

他发现不管是金属棒运动切割磁感线产生电流，还是磁场强度变化产生电流，都可以用一个通用的方式来表达：只要闭合回路的磁通量发生了改变，就会产生电流。我们想想，磁通量是磁场强度B和面积a的乘积（B·a），我切割磁感线其实是相当于改变了磁感线通过回路的面积a，改变磁场强度就是改变了B。不管我是改变了a还是B，它们的乘积B·a（磁通量）肯定都是要改变的。

也就是说：只要通过曲面（我们可以把闭合回路当作一个曲面）的磁通量发生了改变，回路中就会产生电流，而且磁通量变化得越快，这个电流就越大。

到了这里，我们要表示通过一个曲面的磁通量应该已经轻车熟路了。磁通量是B·a，那么通过一个曲面S的磁通量给它套一个积分符号就行了。于是，通过曲面S磁通量可以写成下面这样：

这里不再是讨论闭合曲面的磁通量，而是一个非闭合曲面的磁通量，这个磁通量发生了改变就会产生电流，而且变化得越快产生的电流就越大。上面的式子给出的只是通过一个曲面S的磁通量，但是我们看到了最终决定电流大小的并不是通过曲面的磁通量的大小，而是磁通量变化的快慢。那么这个变化的快慢我们要怎么表示呢？
我们可以用这个量的变化dy和给定的时间dt的比值dy/dt来衡量量这个量y变化的快慢。所以，我们现在要衡量磁通量变化的快慢，那就只需要把磁通量的表达式替换掉上面的y就行了，那么通过曲面S的磁通量变化的快慢就可以这样表示：

有人觉得磁通量的变化不是在回路里产生了电流么，那么我直接用电流来描述这种电不就行了么？不行，我们的实验里之所以有电流，是因为我们用导线把金属棒连成了一个闭合回路，如果我们没有用导线去连金属棒呢？那肯定就没有电流了。

所以，电流并不是最本质的东西，那个最本质的东西是电场。一个曲面的磁通量发生了变化，它就会在这个曲面的边界感生出一个电场，然后这个电场会驱动导体中的自由电子定向移动，从而形成电流。因此，就算没有导线没有电流，这个电场依然存在。所以，我们要想办法描述的是这个被感生出来的电场。

首先，一个曲面的磁通量发生了改变，就会在在曲面的边界感应出一个电场，这个电场是环绕着磁感线的，就像是磁感线的腰部套了一个呼啦圈。

我们顺着磁感线方向看的话，这个成闭环的感生电场就是如下图所示：它在这个闭环每点的方向都不一样，这样就刚好可以沿着回路驱动带电粒子，好像是电场在推着带电粒子在这里环里流动一样。

一个新的概念：电场环流，电场的环流就是电场沿着闭合路径的线积分。这里有两个关键词：闭合路径和线积分。
闭合路径：只有路径是闭合的，才是一个环，感生电场也是一个环状的电场；
电场的线积分是什么意思呢？因为我们发现这个感生电场是一个环状电场，它在每一个点的方向都不一样。但是，我们依然可以发动微积分的思想：这个电场在大范围内（比如上面的整个圆环）方向是不一样的，但是，如果在圆环里取一个非常小的段dl，电场E就可以看做是一个恒定的了，这时候E·dl就是有意义的了。然后把这个环上所有部分的E·dl都累加起来，也就是沿着这个圆环逐段把E·dl累加起来，这就是对电场求线积分。而这个线积分就是电场环流，用符号表示就是这样：

这个电场环流有什么物理意义呢？它就是我们常说电动势，也就是电场对沿着这条路径移动的单位电荷所做的功。我这里并不想就这个问题再做深入的讨论，大家只要直观的感觉一下就行了。你想想这个电场沿着这个回路推动电荷做功（电场沿着回路推着电荷走，就像一个人拿着鞭子抽磨磨的驴），这就是电场环流要传递的概念。而用这个概念来描述变化的磁产生的电是更加合适的，它既包含了感生电场的大小信息，也包含了方向信息。

麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律的最后表述就是这样的：曲面的磁通量变化率等于感生电场的环流。用公式表述就是这样：

法拉第定律说磁通量的变化会感生出一个电场出来，但是我们别忘了奥斯特的发现：电流是有磁效应的。也就是说，磁通量的变化会产生一个电场，这个电场它自己也会产生磁场，那么也就有磁通量。那么，你觉得这个感生电场产生的磁通量跟原来磁场的磁通量的变化会有什么关系？
为了维持一个系统的稳定，你原来的磁通量是增加的，我感生电场产生的磁通量就必然要让原来的磁通量减小，反之亦然。即楞次定律。

这里的磁通量变化包含了两种情况：导体运动导致的磁通量变化和磁场变化导致的磁通量变化。这两种情况其实是不一样的，但是它们居然又可以用一个统一的公式来表达，这其实是非常不自然的，当时的人们也只是觉得这是一种巧合罢了，但是爱因斯坦却不认为这是一种巧合，而是大自然在向我们暗示什么，他最终从这里发现了狭义相对论

为什么要先讲磁生电的法拉第定律，最后讲电生磁呢？

方程4：安培-麦克斯韦定律

先来看看安培环路定理：

安培环路定理其实是在告诉我们：通电导线周围会产生旋转磁场，你可以在这个电流周围随便画一个圈，那么这个磁场的环流（沿着这个圈的线积分）就等于这个圈里包含的电流总量乘以真空磁导率。

电生磁就由安培环路定理描述？？？

当然不是！安培环路定理，虽然它确实描述了电生磁，但是它这里的电仅仅是电流（定理右边只有电流一项）。难道一定要有电流才会产生磁？电磁感应被发现的原因就是看到奥斯特发现了电流的磁效应，发现电能生磁，所以人们秉着对称性的原则，觉得既然电能够生磁，那么磁也一定能够生电。那么，继续秉着这种对称性，既然法拉第定律说“变化的磁通量能够产生电”，那么，我们实在有理由怀疑：变化的电通量是不是也能产生磁呢？

那么，为什么描述电生磁的安培环路定理里却只有电流产生磁，而没有变化的电通量产生磁这一项呢？难道当时的科学家们没意识到这种对称性么？当然不是，当时的科学家们也想从实验里去找到电通量变化产生磁场的证据，但是他们并没有找到。没有找到依然意味着有两种可能：不存在或者目前的实验精度还发现不了它。

麦克斯韦认为“变化的电通量也能产生磁”，但是他并不是随意做了一个二选一的选择，而是在他的概念模型里发现必须加入这样一项。而且，只有加上了这样一项，修正之后的安培环路定理才能跟高斯电场定律、高斯磁场定律、法拉第定律融洽相处，否则他们之间会产生矛盾！

下图曲面的底托得很长，盖住了半块电容器。这是什么意思呢？因为我们知道电容器在充电的时候，电容器里面是没有电流的，所以，当我们把曲面选择成这个样子的时候，根本就没有电流穿过这个曲面。
也就是说，如果我选边界平的曲面，有电流穿过曲面，按照安培环路定理，它是肯定会产生一个环绕磁场的。但是，如果我选择凹下去的曲面，就没有电流通过这个曲面，按照安培环路定理就不会产生环绕磁场。而安培环路定理只限定曲面的边界，并不管你曲面的其它地方，于是我们就看到这两个相同边界的曲面会得到完全不同的结论，这就只能说明：安培环路定理错了，或者至少它并不完善。

来仔细分析一下电容器充电的过程：电池驱使着电荷不断地向电容器聚集，电容器中间虽然没有电流，但是它两边聚集的电荷却越来越多。电荷越来越多的话，在电容器两个夹板之间的电场强度是不是也会越来越大？电场强度越来越大，那么通过这个曲面的电通量也就越来越大。因此，我们可以看到虽然没有电流通过这个曲面，但是通过这个曲面的电通量却发生了改变。这样，我们就可以非常合理地把“变化的电通量”这一项也添加到产生磁场的原因里。因为这项工作是麦克斯韦完成的，所以添加了这一项之后的新公式就是麦克斯韦方程组的第四个方程——安培-麦克斯韦定律：

和安培环路定理对比一下，你就会发现它只是在在右边加了变化的电通量这一项，其它的都原封未动。E·a是电通量，套个面积分符号就表示通过曲面S的电通量，再加个d/dt就表示通过曲面S电通量变化的快慢。因为在讲法拉第定律的时候我们详细讲了通过曲面磁通量变化的快慢，这里只是把磁场换成了电场，其他都没变。

ε0是真空中的介电常数，把这个常数和电通量变化的快慢乘起来就会得到一个跟电流的单位相同的量，它就被称为位移电流，如下图：

所以，我们经常能够听到别人说麦克斯韦提出了位移电流假说。其实，它的核心就是添加了“变化的电通量也能产生磁场”这一项，因为当时并没有实验能证明这一点，所以只能暂时称之为假说。在安培环路定理里添加了这一项之后，新生的安培-麦克斯韦定律就能跟其他的几条定律和谐相处了。而麦克斯韦之所以能够从他的方程组里预言电磁波的存在，这最后添加这项“变化的电通量产生磁场”至关重要。

预言电磁波的关键就是“变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场”，这样变化的磁场和电场就能相互感生传向远方，从而形成电磁波。而变化的电场能产生磁场，这不就是麦克斯韦添加的这一项的核心内容么？电场变了，电通量变了，于是就产生了磁场。至于麦克斯韦方程组如何推导出电磁波，我后面再专门写文章解释，这里知道电磁波的产生跟位移电流的假说密切相关就行了。

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至此，麦克斯韦方程组的四个方程：描述静电的高斯电场定律、描述静磁的高斯磁场定律、描述磁生电的法拉第定律和描述电生磁的安培-麦克斯韦定律的积分形式就都说完了。把它们都写下来就是这样：