数学

卢卡斯定理

对于素数 p，有

\(\binom{n}{k}\equiv \binom{\lfloor n/p\rfloor}{\lfloor k/p\rfloor}\binom{n\bmod p}{k\bmod p}\pmod p.\)
其中，当 n<k 时，二项式系数 \(\dbinom{n}{k}\) 规定为 0。

范德蒙德卷积

\(\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k}\)

斐波那契数列的gcd

\(gcd(f_i,f_j)=f_{gcd(i,j)}\)

Miller-Rabin素数检测

假设我们要判断一个大整数 \(n > 3\) 是否为素数。

1. 写成特定形式：
   \(n - 1 = 2^s \cdot d, \quad d \text{ 是奇数}\)
   也就是把 \(n-1\) 分解成 \(2^s\) 乘上一个奇数 \(d\)。

2. 随机选择底数 \(a\)
   从 \([2, n-2]\) 中随机选择一个整数 \(a\)。

3. 进行幂取模测试
   计算：
   \(x = a^d \mod n\)

4. 检查素性条件

• 如果 \(x = 1\) 或 \(x = n-1\)，则 n 有可能是素数。

• 否则，重复平方 \(x = x^2 \mod n\)，最多重复 \(s-1\) 次：

• 如果过程中出现 \(x = n-1\)，说明 n 可能是素数。

• 如果一直没有出现 \(n-1\)，则 \(n\) 一定是合数。

5. 多轮测试

选择多个不同的 \(a\) 进行测试，增加准确性。若所有轮次都通过测试，则 \(n\) 极大可能是。

扩展欧拉定理

原根