2.23 比赛

A

Subtask 1(10pts)

对每个点对维护一个 map，维护 \(k\) 棵树都有的点对的数量。

Subtask 4(15pts)

对上述算法进行优化。

设 \(f_{i,j,t}\) 表示是否存在一棵树使得 \((i,j)\) 路径上包含 \(t\)。\((i,j)\) 的答案为 \(\sum_t f_{i,j,t}\)。时间复杂度 \(O(n^2k^2)\)。

Subtask 2 5(40pts)

对上述算法进行优化。发现事实上是一个或的关系，自然联想到 bitset。

假设在第 \(m\) 棵树上，路径 \((i,j)\) 包含的点构成的集合用 bitset 表示为 \(S_{m}\)，则 \(f_{i,j,k}= |_S S_m\)

把上面的做法用 bitset 维护即可。时间复杂度 \(O(\frac {n^2k^2} w)\)。

Subtask 3、6(40~100pts)

写的比较优秀的 bitset 是可以过的。

需要尝试以下优化

• 严格控制各类 count reset 之类操作的次数
• 注意到 \(ans_{i,j}=ans_{j,i}\) ，在各个阶段的操作中，都不要重复计算
• 各类基本的常数优化方法（例如 快读、long long 改 int 等）
• bitset 的写法较为优秀
• 发现链跑的比较慢（递归深度较深），可以特判。（当然不特判是可以过的）

具体 bitset 写法可以是这样的：

在 dfs 里对每一个起点 \(i\)，维护 bitset \(x\)，\(x_j\) 表示 \((i,j)\) 路径上的点集。易知，$x_u=x_{fa_u} + u $。

在 dfs 完成以后，通过对所有点对 \((i,j)\) 满足 \(i\le j\)，维护 \(ans_{i,j} \to ans_{i,j}|x_j\)，即可。

时间复杂度 \(O(\frac{n^2k^2}w)\)。

以 TestCase 13 为例，相比最初的 bitset（1033ms），最后的 AC 代码大约为 606ms，提升 \(40\%\)。最慢的点在 TestCase 8，跑了 3740ms。

Subtask inf(100pts)

虽然但是，正解还是要学的。

考虑转化题面的情况，对于一个点 \(z\) 不在 \((x,y)\) 路径上，意味着以 \(z\) 为根，\(x,y\) 永远在 \(x\) 的子树内。考虑随机权值哈希，对每个点记录删去后形成的子树编号。用随机权值哈希判断是不是在一个子树内是不难题。

B

Subtask 1 (30pts，但出题人数据造挂了)

爆搜。具体来说，枚举红色侏儒和紫色侏儒的位置序列。这个数量一定不超过 \(2^{n+m}\) 种。然后我们考虑什么时候合法。在一次戏法中，会产生三段区间。而相邻两个侏儒之间被经过三遍 \(\leftrightarrow\) 是三段区间的交集。

时间复杂度 \(O(2^{n+m}k)\)

Subtask 3 (50pts)

首先，我们发现一个戏法只和四个坐标的位置关系有关。

考虑一个戏法什么时候是好的：只有 \(acbd,acdb,cabd,cadb\) 是好的。

考虑 \(dp_{i,j}\) 表示选择了 \(i\) 个红衣侏儒和 \(j\) 个紫衣侏儒，确定会做贡献的戏法有哪些。也就是，要么 \(a\in [c,d]\)，要么 \(c\in [a,b]\)。

然后如果下一个侏儒是第 \(i+1\) 个侏儒，那么如果 \(c\le j<d\) 会对其做出 \(p\) 的贡献。如果是 \(j+1\)，则为 \(a\le i <j\)。

时间复杂度 \(O(nm+(n+m)k)\)。

Subtask 4(100pts)

拿线段树、 set 之类的维护就可以。

C

比较神仙题。

Subtask 1(20pts)

考虑状态压缩dp。\(dp[i][j][S]\) 表示两个人分别在 \(i,j\)，且是否有传送门的状态为 \(S\) 时的最小次数。

再考虑，枚举起始点即可。\(O(2^nn^3)\)。