2024.1.18 题选

2024.1.18 题选

早上 fzw 讲计数。我在学校。

CF870F Paths

自己想出的 *2700，但是不会一些细节。

考虑两个点之间的距离有哪几种情况

我们令 \(i<j\)。

• \(i=1\)，一定有 \(dis(i,j)=0\)，因为不连通。

• \(\gcd(i,j)\neq 1\)，一定有 \(dis(i,j)=1\)，因为一步到。

• 考虑 \(i\perp j\)，设两个数的最小质因数为 \(p_i,p_j\)，显然 \(p_i \perp p_j\)

也就是说有如下几条边：\(i\to p_i\)，\(j\to p_j\)，\(p_i \to p_ip_j\)，\(p_j \to p_ip_j\)。同时对于任意的正整数 \(k>1\)有， \(kp_i \to kp_j\)。然后由于约束，我们认为 \(k>2\) 一定不优，所以 \(2p_i\to 2p_j\)。

上述边可以转化成如下几种情况的路径。

1. \(p_i\cdot p_j \le n\)，直接 \(i\to p_i\cdot p_j \to j\)，\(dis(i,j)=2\)

2. $p_i \cdot p_j >n $ 且 \(\max (p_i,p_j) \le \frac n 2\)，可以走 \(i\to 2p_i \to 2p_j \to j\)。\(dis(i,j)=3\)。

3. \(\max(p_i,p_j) > \frac n2\)，\(dis(i,j)=0\)。

统计满足上述条件分别的二元组个数即可。

\(dis(i,j)=2\) 的情况最难，采用正难则反，这个需要分析出来。

剩下的大力推式子即可。会发现答案所依赖的信息通过一次线性筛都可以算出来，所以时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)

CF914F

我一开始以为 1kri 讲的是分块套后缀自动机。然后打算换题。然后 jzy 说这题一开始讲的是就 bitset。我就心安理得地把这题用 bitset 搞过去了。

一个经典 trick 是考虑一个字符串的匹配可以理解成字符出现位置构成的 bitset 形成的 and。当然你每一位都要向右移动若干位。

然后你维护一下这个bitset。至于区间，只需差分即可。时间复杂度理论上是 \(O(\frac{n^2+n\sum|y|}{w})\)

P5693 第六分块

dX 讲的恶心数据结构，里比较能写的。

考虑小白逛公园的做法。

对于区间 \([l,r]\) ，要维护 整个区间内的最大子段和 \(ans\)，以 \(l\) 为起点的最大子段和 \(lans\)，以 \(r\) 为终点的最大子段和 \(rans\)，子段和 \(sum\)。

我们设这个线段树节点是 \(u\)，两个儿子分别是 \(ls,rs\)。

\(u_{ans}=\max(ls_{ans},rs_{ans},ls_{rans}+rs_{lans})\)

\(u_{lans}=\max(ls_{lans},ls_{sum}+rs_{lans})\)

\(u_{rans}=\max(rs_{rans},rs_{sum}+ls_{rans})\)

\(u_{sum}=ls_{sum}+rs_{sum}\)

我们发现，如果决策出现变化，会影响所有取决于这个点的决策。如果暴力重构，时间复杂度 \(O(n)\)，无法通过。

考虑决策发生变化当且仅当变化量超过某个阈值。

• 超过阈值，重构子树

• 不超过阈值，相当于直接区间加。

然后我们发现在两个信息合并时，阈值是往平面坐标轴上扔成直线以后的交点。然后你把维护的四个信息全部变成直线即可。

EI 通过复杂的势能分析，得到时间复杂度是 \(\mathcal O(m\log^4n+n\log^3n+q\log n)\)。

这种算法称为 KTT。该题是末日三问、[SNOI2020]区间和的弱化版。

something

事实上，还有昨天两题的，但昨天身体不太舒服，没写笔记，所以先摆了。

感觉做的题好难啊。你让我再写一遍，我也至多有五成把握能在合理时间内写出来。但是感觉也只有这样积累思路才能让自己厚起来。尽管最后这样难度的题依然未必能做出来，但它看起来确实可以为做题的一切（比如暴力 etc.）提供新思路，提供新视野（？

那就继续下去吧。