整数划分递归模板

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    整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。
    所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：
    n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
    如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
    例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
    注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
    该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
    
    递归法：
  根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
  (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

  (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

  (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

     (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

     (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

     因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

  (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

  (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

      (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下

         为f(n-m,m)

      (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

     因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

     综上所述：

                            f(n, m)=   1;              (n=1 or m=1)

              f(n,m)   =    f(n, n);                   (n<m)

                            1+ f(n, m-1);              (n=m)

                            f(n-m,m)+f(n,m-1);         (n>m)
*/

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int fun(int n,int m)
{
    if(n==1||m==1)
        return 1;
    else if(n<m)
        return fun(n,n);
    else if(n==m)
        return 1+fun(n,n-1);
    else
        return fun(n,m-1)+fun(n-m,m);
}

 

poj1221 单峰回文序列

所谓回文序列就是从左至右和从右至左读都是一样的,而单峰的意思就是说从左至中间的那个数是递增的

从中间至右是递减的，比如  1221,121满足条件,而2112不满足

题目大意:给你一个整数n，求出他的整数划分序列中满足单峰回文的个数

思路:

对于奇数而言:它满足的划分序列肯定是奇数个数组成的(如果是偶数个，因为又要满足回文那么这些数加起来肯定就是偶数了)

对于偶数:它满足的划分序列可以使奇数个或偶数个组成

对于数n：

1. 由奇数个组成的回文序列....k.....,那么除了中间数K外,其它的数的和肯定是一个偶数

　　因此n-k为偶数,因此我们只要从1--n枚举k就好了，并且k的左边所有数的和是(n-k)/2就好了，

　　剩下的我们只要求出fun((n-k/2),k)了

2. 偶数个组成的回文序列....KK.... K<=n/2,左半边的和为n/2,并且最大值小于等于n/2

　　所以只需要求fun(n/2,n/2)就好了

具体代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int temp[1000][1000];
int fun(int n,int m)
{
    //优化否则会超时,计算过的就不重新计算了
    if(temp[n][m])
        return temp[n][m];
    if(n==1||m==1)
        return temp[n][m]=1;
    else if(n<m)
        return temp[n][m]=fun(n,n);
    else if(n==m)
        return temp[n][m]=1+fun(n,n-1);
    else
        return temp[n][m]=fun(n,m-1)+fun(n-m,m);
}
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n)
    {
        __int64 ans=1;//本身就是一种
        for(int i=1;i<n;i++)
            if((n-i)%2==0)
                ans+=fun((n-i)/2,i);
        if(n%2==0)
            ans+=fun(n/2,n/2);
        printf("%d %I64d\n",n,ans);
    }
}