二维前缀和

二维前缀和入门：

\(我们DP来预处理，dp\left [ i\right ]\left [ j\right ]表示\left ( 1,1\right )这个点与\left ( i,j\right )这个点两个点分别为左上角和右下角所组成的矩阵内的数的和，转移方程:\)

\(dp\left [ i\right ]\left [ j\right ]=dp\left [i-1 \right ]\left [j \right ]+dp\left [ i\right ]\left [ j-1\right ]-dp\left [ i-1\right ]\left [ j-1\right ]+mp\left [ i\right ]\left [ j\right ]\left ( mp\left [ i\right ]\left [ j\right ]表示二维表格\left ( i,j\right )处的值\right )\)

 

 预处理完毕，下面来讲怎么快速的得出我们想要的任意子矩阵中的和，我们定义\(\left ( x_{1},y_{1}\right )为我们想要的子矩阵的左上角，\left ( x_{2},y_{2}\right )为我们想要的子矩阵的右下角\)

 

 那么由图可得，\(dp\left [ x_{2}\right ]\left [ y_{2}\right ]-dp\left [ x_{1}-1\right ]\left [ y_{2}\right ]-dp\left [ x_{2}\right ]\left [ y_{1}-1\right ]+dp\left [ x_{1}-1\right ]\left [ y_{1}-1\right ]\)

模板代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
typedef long long ll;
const int maxn = 1e3+10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll mod=1e9+7;

int dp[maxn][maxn],mp[maxn][maxn];
int n,m,k;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>mp[i][j];
            
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]+mp[i][j];
            
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        int ans=dp[x2][y2]-dp[x2][y1-1]-dp[x1-1][y2]+dp[x1-1][y1-1];
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

本博客图来自于：here