石子合并，GarsiaWachs算法优化

 

 

 

思路：

可以发现朴素的区间dp已经不足以解决这个问题了。对于石子合并问题，有一个最好的算法，那就是GarsiaWachs算法。时间复杂度为O(n^2)。

设序列是stone[maxn]，从左往右，找到一个最小的且满足stone[k-1] <= stone[k+1]的k，找到后合并stone[k]和stone[k-1]，再从当前位置开始向左找一个j满足stone[j] >= stone[k]+stone[k-1]，然后把stone[k]+stone[k-1]插到j的后面就行。一直重复，直到只剩下一堆石子就可以了。
另外在这个过程中，可以假设stone[-1]和stone[n]是正无穷的，可省略边界的判别。把stone[0]设为inf, stone[n+1]设为inf-1，可实现剩余一堆石子时自动结束。

举个例子：
186 64 35 32 103
因为35<103，所以最小的k是3(下标从0开始)，我们先把35和32删除，得到他们的和67，并向前寻找一个第一个大于等于67的数，把67插入到他后面，得到：186 67 64 103,现在由5个数变为4个数了，继续：186 131 103，之后得到234 186，k=2（别忘了，设A[-1]和A[n]等于正无穷大），最后得到420。最后的答案呢？就是各次合并的重量之和，即420+234+131+67=852。

基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束，之后证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应，并保证节点移动之后他所在的深度不会改变。具体实现这个算法需要一点技巧，精髓在于不停快速寻找最小的k，即维护一个“2-递减序列”朴素的实现的时间复杂度是O(n*n)，但可以用一个平衡树来优化，使得最终复杂度为O(nlogn)。
AC_Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=50005;
const ll mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-9;
int stone[maxn],n,ans,t;

void combine(int k){
    int tmp=stone[k-1]+stone[k];
    ans+=tmp;
    --t;
    for(int i=k;i<t;i++) stone[i]=stone[i+1];
    int j;
    for(j=k-1;stone[j-1]<tmp;--j){
        stone[j]=stone[j-1];
    }
    stone[j]=tmp;
    while( j>=2 && stone[j]>=stone[j-2] ){
        int d=t-j;
        combine(j-1);
        j=t-d;
    }
}

int main()
{
    while( ~scanf("%d",&n)&&n){
        stone[0]=inf; stone[n+1]=inf-1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&stone[i]);
        }
        ans=0;
        t=3;
        for(int i=3;i<=n+1;i++){
            stone[t++]=stone[i];
            while( stone[t-3]<=stone[t-1]){
                combine(t-2);
            }
        }
        while( t>3 ) combine(t-1);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}