DFS序

转自：https://blog.csdn.net/qq_36368339/article/details/79236467

树通常有多种类型，但其终归是非线性结构，操作起来有时总是那么费时。

例如：POJ 3321
给你一棵树，树上每个节点都有1个苹果，然后你对一个节点操作，如果有苹果就拿走，没苹果就放上，然后询问你以x为根的子树上共有多少个苹果。
每次更新都要遍历一遍，查询也要遍历一遍，时间复杂度很高。如果能转化成线性结构就可以了，就可以用线段树或者树状数组等其他方法对树高效更新和查询。
dfs有一个很好的性质：一棵子树所在的位置处于一个连续区间中。
DFS序就是将树形结构转化为线性结构，用dfs遍历一遍这棵树，进入到x节点有一个in时间戳，递归退出时有一个out
时间戳，x节点的两个时间戳之间遍历到的点，就是根为x的子树的所有节点，他们的dfs进入时间戳是递增的。同时两个时间戳构成了一个区间，x节点在这段区间的最左端，这个区间就是一棵根节点为x的子树，对于区间的操作就是其他维护方式的应用了。

int time = 0;
inline void dfs(int x, int fa) {
    in[x] = ++time; //进入的时间戳
    num[time] = x;  //生成新的线性结构
    for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
        int cnt = G[x][i];
        if(cnt == fa) continue;
        dfs(cnt, x);
    }
    out[x] = time;  //出去的时间戳
}

 

in[x]表示映射的DFS预处理出的线性结构，也就是说x是原始节点，in[x]是x节点的新位置，num[t]表示第t个节点的编号，num[in[x]]表示的还是x。num是新序列，in表示是新序列的下标，in[x]~out[x]是x为根结点的子树，划分为一个区间。
ps：可以在纸上模拟画画.

回到最初问题：
单点更新，区间查询，将这个树的DFS序预处理出来，线段树维护区间和。用num[L]建树(建树时小心，产生了新序列)，in[x]单点更新，in[x]~out[x]区间查询，问题即可解决。

多说一句：上图的dfs序是：2471365； 欧拉序是：24741434265