bzoj3930[CQOI2015]选数 容斥原理

3930: [CQOI2015]选数

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Description

 我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助。你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

 

Input

输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H。

 

Output

输出一个整数,为所求方案数。

 

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

 

 样例解释


所有可能的选择方案:(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组:(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据,1≤N,K≤10^9,1≤L≤H≤10^9,H-L≤10^5
 

容斥
可以注意到一个性质:任意选两个数,这两个数的gcd<=他们的差 易证
题目中给出的区间大小<=1e5 所以不管怎么选,只要不全部选相同的数,gcd都会<=1e5
设f[i]为所有数的gcd为k或k的倍数的方案,易算出f[i]
假设g[i]为gcd为所有数的gcd为k的方案,可以用f[]容斥得到g[]
因为首先保证了所有方案不能选择相同的数,所以最后特判一下能不能全部选择K这个数来贡献答案

顺便%%用反演的大佬

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 #define mod 1000000007
 4 #define N 100001
 5 using namespace std;
 6 int M,K,L,R,fg,f[N];
 7 int quick(int a,int b){
 8     int ret=1;
 9     while(b){
10         if(b&1)ret=1ll*ret*a%mod;
11         a=1ll*a*a%mod;b>>=1;
12     }
13     return ret;
14 }
15 int main(){
16     scanf("%d%d%d%d",&M,&K,&L,&R);fg= K<=R&&K>=L;
17     for(int i=R-L+1;i>=1;--i){
18         int l=L/i-(L%i==0),r=R/i,t=r-l;
19         int sum=quick(t,M)-t;
20         sum<0?sum+=mod:1;f[i]=sum;
21         for(int j=i+i;j<=R-L+1;j+=i)
22         f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;
23     }
24     f[K]=(f[K]+fg)%mod;f[K]<0?f[K]+=mod:1;
25     printf("%d",f[K]);
26     return 0;
27 }

 

 










If you live in the echo,
your heart never beats as loud.
如果你生活在回声里,
你的心跳声永远不会轰鸣作响。
posted @ 2018-01-14 20:29  _wsy  阅读(170)  评论(0编辑  收藏  举报