堆排序

引入：

堆排序是一种就地算法，算法最坏时间复杂度为O(nlogn)

算法设计技术：以堆(heap)来加速，优先级队列，ADT

 

要想知道什么是堆排序，必须先了解堆，下面开始介绍堆：

二叉堆：是一颗完全/完整二叉树

1.结点编号从1开始的堆

 

　　　　完全二叉树(结点i)

　　　非完全二叉树

父亲 i/2    左孩子 2i    右孩子2i + 1    （比较简洁）

 

　　2. 结点编号从0开始

父亲 （i-1）/2    左孩子 2i + 1    右孩子2i + 2 ​（稍微复杂点）​

 ​数组形态    隐式堆   

​​最大堆(大根堆)/最小堆(小根堆)

　　　　　　最大堆(大根堆)

大根堆的特性：

1. ​A[i/2] >= A[i]    最大堆(大根堆)
2. i/2为结点i的父亲
3. 堆顶/最大元素
4. 似乱非乱    完美的混乱

　　　　　　最小堆(小根堆)

小根堆的特性：

1. A[i/2] <= A[i]    最小堆(小根堆)
2. i/2为结点i的父亲
3. 堆顶/最小元素

二叉堆的操作：

• 调整结点i使之满足堆特性O(logn)
• 建堆O(n)
• 堆排序O(nlogn)
• 插入元素O(logn)
• 取出最大元素O(logn)
• 对结点i升权O(logn)
• 最大元O(1)

​维护堆特性

结点i的下沉    其他结点都满足要求(堆的特性)

1.将结点为4的值从堆中拿出来

2.分别将4与它的左右孩子比较，由于14 > 7 > 4，所以把14放到4的位置上去

3.继续与原来14位置左右孩子比较，由于8 > 4 > 2，所以把8放到原来14的位置，把4放到原来8的位置

 A　　数组/向量　　n + 1(n个元素)　　A[0]哨兵

 

/***
 * 下沉操作 
 */
A[0] = A[i];
size_t R = 2 * i + 1;
//1.循环中处理的是左右孩子都存在的情况下
while(R < A.size()){
    size_t MAX = i;
    if(A[MAX] < A[R]){
        MAX = R;
    }
    if(A[MAX] < A[R - 1]){
        MAX = R - 1;
    }
    if(MAX == i)
        break;
    A[i] = A[MAX];
    i = MAX;
    R = 2 * i + 1;
}
//不存在右孩子的情况
if(R == A.size() && A[i] < A[R - 1]){ //短路表达式
    A[i] = A[R - 1];
    i = R - 1;
}
A[i] = A[0];　　

 堆高度至多为O(logn)，所以结点至多下沉O(logn)次，所以结点下沉的时间复杂度为O(logn)

主定理：T(n) <= T(2n/3) + O(1)

 

另一种表述　　堆高度h　　运行时间O(h)

 练习：<27,17,3,16,13,10,1,5,7,12,4,8,9,0>

 

1.建堆

Floyd算法　　自底向上调整　　<4,1,3,2,16,9,10,14,8,7>(数组/向量)

 

高为h,至多有个结点，调整它们要O(h)时间

n个结点堆高不超过，

 

 

 

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