妙妙屋

如何快速求出一个点 \(u\) 到一堆点的最短路的最短值？

新建一个虚点 \(v\) ，向这堆点中的每一个都连一条0权边，然后跑 \(u,v\) 之间的最短路。

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如何在多组询问下，快速求出字符串 \(s,t\) 的 \(min\{\)最长公共前缀长度，最长公共后缀长度\(\}\)？

\(\forall 1 \le i \le |s|\) ，将字符对 \((s_i,s_{|s|-i+1})\) 视为一个新的字符记录为新字符串 \(s'\) 的第 \(i\) 个字符，对 \(t\) 也如此处理。

那么原式即 \(s',t'\) 的最长公共前缀的长度，用 \(trie\) 处理。

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状态压缩时如何枚举子集？

设 \(i\) 为当前状态，\(j\) 为子状态。

先奉上代码：

for(int j=i;j=(j-1)&i;) ...

为什么这么做是对的：每次 j=j-1 的时候都会把 j 的末位 1 变成 0 ，而把末位 1 之后的 0 都变成 1 。然后再进行 j&=i ，相当于是在只关注 i 中的 1 时进行了一次退位减法的操作。

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冒泡排序的性质：

对一个序列进行单次冒泡排序（不妨假设为从小到大排序）后，考虑任意一个区间 \([l,r]\)，至多有一个数会进入这个区间，也至多有一个数会进入这个区间。

特别地，从集合的视角考虑前缀 \([1,r]\)，在冒泡排序 \(k\) 轮之后，前缀内的数恰好由原序列 \([1,min(r+k,n)]\) 内前 \(r\) 小的数组成。

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当集合内每一个元素都具有 \(\le 2\) 个属性时，可以建图，将属性视为图中的点，将元素视为图中连接两个属性的边。

例如，给定若干长度 \(1\) 或 \(2\) 的字符串，每个串可以翻转，求能否恰好使用所有串，拼接成一个回文串。

可以建图，将每种字符视为一个点，每个串视为连接其两个字符的无向边。特别地，对于长度 \(=1\) 的串，新建 \(0\) 号点，视为 \(0\) 号点与这个串的唯一字符之间连边。

则图上的一条欧拉回路对应一个回文串，转换得很巧妙。

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树上询问某一个点所在连通块，可以考虑将这个问题分为以下多个部分。

1.将连通块挂到其根处。

2.询问一个点所在连通块的根。

3.在根上维护连通块信息。

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树剖后，任意的链上修改通过树上差分转换为根到某一点的链上修改。

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dp时，为了计算方便，可以引入不优解。

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对于 \(01\) 序列或者 \(\pm 1\) 序列，可将其视为折线，考虑其几何意义、值域连续性质等。

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当数据范围中某个量极小，考虑分类讨论、状态压缩，容斥等。

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问题与值域规模相关时，可以考虑值域 \(=[0,1]\) 的简化情况，并用二分、离散化等手段解决原问题。

同理，树上问题可以考虑菊花、链等简化情况，进而利用分析、树剖等手段推广。

同理，对于 dp、数据结构等问题，可以先想暴力，再想优化。

由易到难是很重要的思考角度。

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绝对值的处理方法（待补全）：

1. 直接拆开。

比如 \(|a+b|\le c+d\)，可以将其化为 \(-c-d \le a+b \le c+d\)，下一步可以考虑对这个不等式移项，合并同一下标的各个属性方便计算等。下面是一道简要例题。

现有长度为 \(n(n \le 5 \times 10^5)\) 的二元组序列 \((a_i,b_i)(1\le i \le n)\)。请构造一个尽可能长的正整数序列 \(id\)，\(id\) 需要满足 \(\forall 1\le i < |id|,~|a_{id_{i+1}}-a_{id_i}|\le b_{id_{i+1}}-b_{id_i}\)。

将绝对值拆开，得到

\[b_{id_i}-b_{id_{i+1}}\le a_{id_{i+1}}-a_{id_i}\le b_{id_{i+1}}-b_{id_i} \]

移项，得

\[\left\{ \begin{aligned} a_{id_i}+b_{id_i}\le a_{id_{i+1}}+b_{id_{i+1}}\\ b_{id_i}-a_{id_i}\le b_{id_{i+1}}-a_{id_{i+1}} \end{aligned} \right. \]

记 \(x_i=a_i+b_i~,y_i=b_i-a_i\)，得

\[\left\{ \begin{aligned} x_{id_i}\le x_{id_{i+1}}\\ y_{id_i}\le y_{id_{i+1}} \end{aligned} \right. \]

将二元组序列 \((x_i,y_i)\) 按 \(x\) 升序排序，其余的就是一个在 \(y\) 上的 LIS 问题。

怎么 HBCPC 热身赛的最后一题也是这个套路……

又例如需要计算二维曼哈顿距离最大值，可以将 \(\max\{|x-x_i|+|y-y_i|\}\) 拆分成四个式子，进而只需维护 \(x_i \pm y_i\) 的最大值和最小值。

例题见 P12463。

可以发现拆开绝对值，使得同一下标的各个属性合并，简化了维护过程。

2. 排序，最小化绝对值之和。

3. 将绝对值拆分成若干段，对每一段的贡献分别求解。例题见 CF1427G。

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利用程序的随机打乱等手段可以破坏交互题的构造数据，实现数据随机化。

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对于非常规的背包问题，有以下思考角度：

1. 优先贪心，考虑性价比。例题1 例题2（H. Jewel Thief）

2. 进行神秘复杂度分析。例题

3. 用 bitset 碾。

4. 同余最短路。例题

5. 多项式 此知识点不在 NOI 大纲内。

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集合计数/维护信息类问题，考虑对每个集合取一个代表元，之后维护代表元。

例如树上查询连通块时，取代表元为连通块的根，从而维护根处信息。

需要注意，代表元应与集合存在双射关系。

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缩树之后得到的新树，其本质是在原树上选一些连通块，并且仅保留连通块之间的边所得到的树。连通块内的边对应着缩的边，新树形态与缩边顺序无关。

缩树，指在一棵树中选定一条边 \((u,v)\)，对于所有 \(v\) 的非 \(u\) 的邻居 \(x\)，删除边 \((v,x)\)，添加边 \((u,x)\)。

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（打破一下严肃的气氛）

萌新刚学 OI，zkw 线段树的区间查询思路真的太高妙了！

查询 \([l,r]\) 时，新建两个指针 \(l-1,~r+1\)，让这两个家伙往父亲上跳，跳的过程中如果遇到位于查询区间内的兄弟，就把兄弟算一次贡献。

这个东西结合位运算有很多优秀的性质！

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折线上 DP 的一个特征：可以把所有点分为两类，且存在某个二维偏序关系一定不优。此时存在一条折线，将折线两侧的点分为两类最优。

可以结合扫描线等方法优化。