1）阶行列式等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积的和。

前言：重在记录，可能出错。

1. 代数余子式：(-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ，Mᵢⱼ为余子式。当书本上第一次出现这个定义的时候，有人对这个ⁱ⁺ʲ感到疑惑，实际上，书本后面在证明引理——一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aᵢⱼ外都为零，那么这行列式等于aᵢⱼ与它的代数余子式的乘积的时候已经给出了思路：

证：此处仅证第i行的情况，第j列情况的证明同理。

$\begin{array}{l} D = | \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} a_{11} \\ ⋮ \\ 0 \end{array} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \end{array} & \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} \dots \\ ⋱ \end{array} \\ \dots \end{array} \\ ⋰ \end{array} \\ \dots \end{array} \end{array} & \begin{array}{l} \begin{array}{l} a_{1 j} \\ ⋮ \\ a_{i j} \end{array} \\ ⋮ \\ a_{n j} \end{array} \end{array} & \begin{array}{l} \begin{array}{l} \dots \\ ⋰ \\ \dots \end{array} \\ ⋱ \\ \dots \end{array} \end{array} & \begin{array}{l} \begin{array}{l} a_{1 n} \\ ⋮ \end{array} \\ 0 \\ ⋮ \\ a_{n n} \end{array} \end{array} | \\ = (- 1)^{i - 1 + n - 1} | \begin{array}{l} a_{i j} & \dots & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1 j} & \dots & a_{11} & \dots & a_{1, j - 1} & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, j} & \dots & a_{i - 1, 1} & \dots & a_{i - 1, j - 1} & a_{i - 1, j + 1} & \dots & a_{i - 1, n} \\ a_{i + 1, j} & \dots & a_{i + 1, 1} & \dots & a_{i + 1, j - 1} & a_{i + 1, j + 1} & \dots & a_{i + 1, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n j} & \dots & a_{n 1} & \dots & a_{n, j - 1} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{array} | ① \\ = (- 1)^{i + j - 2} a_{i j} M_{i j} \\ = a_{i j} (- 1)^{i + j - 2} M_{i j} 任一整数 \pm 2 （一个偶数）都不影响其奇偶性 \\ = a_{i j} (- 1)^{i + j} M_{i j} ② \end{array}$

2. 怎么计算①式？

采用分块法：以第一行第一列元素仍为第一行第一列元素，将原行列式分块为二阶行列式D，第一行第二列块值为0，因此，此行列式的值为第一行第一列块值乘以第二行第二列块值。

$\begin{array}{l} D = | \frac{\begin{array}{c} a_{i j} & ∣ & 0 \end{array}}{\begin{array}{c} ⋮ & ∣ & M_{i j} \end{array}} | \\ = a_{i j} ⸳ M_{i j} \end{array}$

3. 可见上述②式中已经出现了一个通项（代数余子式的）的身影，但是，这并不能使我们决定为它定义一个单独的名词。接下来证明行列式按行（列）展开法则：n（n>1）阶行列式等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积的和。

证：此处仅证按行展开的情况，按列展开情况的证明同理。

$\begin{array}{l} D = | \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | \\ = | \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} + 0 + \dots + 0 & 0 + a_{i 2} + 0 + \dots + 0 & \dots & 0 + \dots + 0 + a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | \\ = | \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | + | \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{i 2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | + \dots + | \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | \\ = (- 1)^{i - 1} | \begin{array}{l} a_{i 1} & 0 & \dots & 0 \\ a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 1} & a_{i - 1, 2} & \dots & a_{i - 1, n} \\ a_{i + 1, 1} & a_{i + 1, 2} & \dots & a_{i + 1, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | + (- 1)^{i - 1 + 1} | \begin{array}{l} a_{i 2} & 0 & 0 & 0 \\ a_{12} & a_{11} & a_{13} & a_{1 n} \\ a_{i - 1, 2} & a_{i - 1, 1} & a_{i - 1, 3} & a_{i - 1, n} \\ a_{i + 1, 2} & a_{i + 1, 1} & a_{i + 1, 3} & a_{i + 1, n} \\ a_{n 2} & a_{n 1} & a_{n 3} & a_{n n} \end{array} | + \dots + (- 1)^{i - 1 + n - 1} | \begin{array}{l} a_{i n} & 0 & \dots & 0 \\ a_{1 n} & a_{11} & \dots & a_{1, n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, n} & a_{i - 1, 1} & \dots & a_{i - 1, n - 1} \\ a_{i + 1, n} & a_{i + 1, 1} & \dots & a_{i + 1, n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n n} & a_{n 1} & \dots & a_{n, n - 1} \end{array} | \\ = (- 1)^{i - 1} a_{i 1} M_{i 1} + (- 1)^{i - 1 + 1} a_{i 2} M_{i 2} + \dots + (- 1)^{i - 1 + n - 1} a_{i n} M_{i n} 这里的化简已在上面证明 \\ = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} (- 1)^{i + j} M_{i j} \end{array}$

此时，最后的结果同样出现一个通项（代数余子式的）身影，并且对于所有行列式有普遍性，因此我们赋予了(-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ一个专有名称——代数余子式（algebraic complement minor），记作Aᵢⱼ。

posted @ 2022-07-22 15:30 戈小戈阅读(1100) 评论(0) 收藏举报

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2. 怎么计算①式？

采用分块法：以第一行第一列元素仍为第一行第一列元素，将原行列式分块为二阶行列式D，第一行第二列块值为0，因此，此行列式的值为第一行第一列块值乘以第二行第二列块值。

证：此处仅证按行展开的情况，按列展开情况的证明同理。

此时，最后的结果同样出现一个通项（代数余子式的）身影，并且对于所有行列式有普遍性，因此我们赋予了(-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ一个专有名称——代数余子式（algebraic complement minor），记作Aᵢⱼ。

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2. 怎么计算①式？

采用分块法：以第一行第一列元素仍为第一行第一列元素，将原行列式分块为二阶行列式D，第一行第二列块值为0，因此，此行列式的值为第一行第一列块值乘以第二行第二列块值。

证：此处仅证按行展开的情况，按列展开情况的证明同理。

此时，最后的结果同样出现一个通项（代数余子式的）身影，并且对于所有行列式有普遍性，因此我们赋予了(-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ一个专有名称——代数余子式（algebraic complement minor），记作Aᵢⱼ。

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