群学习笔记

置换为一个值域为[1,n]，定义域为[1,n]的满单射，为一个群，满足封闭率，结合律，存在单位元，逆元

置换乘法：
\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... & n \\ b1& b2 & ... & bn & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & ... & n\\ a1 & a2 & ... & an \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a1 & a2 & ... & an\\ b1 & b2 & ... & bn \end{bmatrix}

不具有交换律

 

置换群的循环表示：(1,2,3,...,n)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... & n-1& n\\ 2 & 3 & ... & n & 1 \end{bmatrix}

如果循环个数为k，则被称为k阶循环

可以把置换P用若干循环表示，即p=(a1,a2,a3,...)(b1,b2,b3..)... 互不相交

记c_{k}(P)为P中k阶循环出现个数，可以发现： \sum k*c_{k}(P)=n

特殊的，c_{1}(P)表示P的不动点个数

 

对换：一种特殊的循环置换——每次交换相邻两个，记作(i,j),等价于 (1,2,3,...,n),则(1,2,3,...,n)=(1,2)(1,3)(1,4)...(1,n)=(2,3)(2,4)...(2,n)(2,1)=...

 

对换会改变序列的奇偶性（逆序对的个数）（可以通过分类讨论证明），而置换后的奇偶性是唯一的（即写作对数乘积形式个数的奇偶性唯一）

判断是否可以通过若干有限制的对换得到置换出的序列

EX：数字华容道:每次只能移动0，求是否可行

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9&10&11& 12 \\ 13 & 14 & 15&0\\ \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 15 & 14 & 13 & 12 \\ 11 & 10 & 9 & 8 \\ 7&6&5& 4 \\ 3 & 2 & 1&0\\ \end{bmatrix}

Solu：总置换：(0)(1,15)(2,14)(3,13)(4,12)(5,11)(6,10)(7,9)(8),为奇置换

而只移动0，每行发生偶数次，每列发生偶数次，故为偶数次对换

所以不能

 

可以发现，偶置换又构成一个群。

因为偶置换*一个对换=奇置换，所以偶置换的个数>=奇置换

同理，奇置换的个数>=偶置换，所以偶置换等于奇置换，所以偶置换组成的群的大小为n!/2

 

设G是{1,2,...,n}的置换群（G中的元素包括颜色）

定义：Zk (K不动置换类)：G中使{1,2,...,n}中的元素k保持不变的置换的个数。

　　   Ek(等价类orbit)：元素K在G中任意置换作用下所能变化成的所有元素的集合。

轨道定理：Z_{k}E_{k}=|G|（感性理解：枚举K位置上的数*可能的集合个数）

Burnside引理：G中元素等价类个数L为所有置换对应的不动点数量的平均值，即\frac{1}{|G|}(\sum_{i=1}^{|G|}c_{1}(p_{i}))

下用轨道定理证明Burnside引理：

可以将[1,n]\Rightarrow E1+E2+...,

对于一个等价类中的元素，E一样，故Z也一样

则\sum_{k=1}^{n}Z_{k}=\sum_{i=1}^{L} |E_{i}|Z_{i}=\sum_{i=1}^{L}|G|=L|G|

则L=\frac{1}{|G|}\sum_{k=1}^{n}Z_{k}=\frac{1}{|G|}(\sum_{i=1}^{|G|}c_{1}(p_{i}))

 

总感觉每种颜色都枚举太浪费了，

考虑总共有m种颜色，且对颜色的使用没有限制的情况

定义群G'为{1,2,3,...}的置换群（G'中的元素不含颜色）

可以发现L=\frac{1}{|G'|}\sum_{k=1}^{|G'|}m^{C(P_{k})},其中C(P)表示置换中的循环表示的个数

这就是polya定理

 

posted @ 2020-10-11 21:08  wwwsfff  阅读(421)  评论(0)    收藏  举报