KMP - 字符串匹配问题
(⊙_⊙) 基础做法：
* 枚举法：解决这类问题，通常我们的方法是枚举从 A 串的什么位置起开始与 B 匹配，然后验证是否匹配。
* 假如 A 串长度为 n，B 串长度为 m，那么这种方法的复杂度是O(mn) 的。
* 虽然很多时候复杂度达不到 O(mn)（验证时只看头一两个字母就发现不匹配了） ，但我们有许多“最坏情况”
- 比如，A= ”aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaab”，B=”aaaaaaaab”
引入KMP：
* 我们将介绍的是一种最坏情况下 O(n) 的算法（这里假设
m <= n） ，即传说中的 KMP 算法。
* KMP 算法的命名是因为这个算法是由 Knuth、Morris、Pratt三个提出来的，取了这三个人的名的头一个字母。
* 在网上能找到很多资料，最重要的理解则是“移动 (shift)” 、 “Next 函数” 、 “fail 指针”等概念。
* 在这里就通过一个具体的例子来理解 KMP 算法是如何实现的。
正式进入,dang dang dang~~
❶ KMP - KMP 算法 - i,j 指针
* 假如，A=”abababaababacb”，B=”ababacb”
* 我们用两个指针 i 和 j 分别表示，A[i − j + 1..i] 与 B[1..j] 完全相等
* 通过枚举，令 i 指针不断增加，而随着 i 的增加，j 也会相应地变化，且 j 仍然满足以 A[i] 结尾的长度为 j 的字符串正好匹配 B 串的前 j 个字符（j 当然越大越好） 。
* 指针 i 和 j 分别表示，A[i − j + 1..i] 与 B[1..j] 完全相等
* 注：当 i = 5 时，j 对应的为 5；当 j = 1,3 时也满足A[i − j + 1..i] = B[1..j] 的条件，但 j = 5 时是最大的
❷ KMP - KMP 算法 - 指针移动
* 接下来需要考虑，当 i 指针向后移动的时候，j 指针相应的变化
1. 当 A[i + 1] = B[j + 1] 时，顺利成章地，i 和 j 各加一；
2. 当 A[i + 1] ！= B[j + 1] 时，KMP 的策略是调整 j 的位置(减小 j值)使得 A[i − j ′ + 1..i] 与 B[1..j ′ ] 保持匹配，并且我们希望新的 B[j ′ + 1] 恰好与 A[i + 1] 匹配（从而使得 i 和 j ′ 能继续增加） 。
* 注：此时 i = j = 5，当 i 增加时，发现 A[6] ̸= B[6]，故必须调整 j 的值
* 此时 j 不能等于 5 了，我们要把 j 改成比它小的值 j ′ ，同时满足A[i − j ′ + 1..i] 与 B[1..j ′ ]的性质。那么，j ′ 可能是多少呢？
* 我们发现，j ′ 必须要使得 B[1..j] 中的头 j ′ 个字母和末 j ′ 个字母完全相等
* 注：将 j = 5 调整到 j = 3，依然能够满足A[i − j + 1..i] = B[1..j]；从图中可以看出 B[1..5] 中前三个必须与后三个相等，j = 3 才满足性质
❸ KMP - KMP 算法 - P 数组
* 从上面的这个例子，我们可以看到，新的 j 可以取多少与 i 无关，只与 B 串有关。
* 我们完全可以预处理出这样一个数组 P[j]（也可以叫做 next，shift 数组） ，表示当匹配到 B 数组的第 j 个字母而第 j + 1个字母不能匹配了时，新的 j 最大是多少。
* P[j] 应该是所有满足 B[1..P[j]] = B[j − P[j] + 1..j] 的最大值。
* 注：对于图中的 B 串，满足 P[5] = 3
❹ KMP - KMP 算法 - 指针移动
* 当 A[i + 1] = B[j + 1] 时，顺利成章地，i 和 j 各加一；
* 注：这时候 A[6] = B[4] = b，所以我们往后推一位，得到i = 6,j = 4；再后来，A[7] = B[5]，i 和 j 又各增加 1。
* 这时，又出现了 A[i + 1] ̸= B[j + 1] 的情况：
* 注：此时 i = 7,j = 5 且 A[8] ̸= B[6]；由于 P[5] = 3, 因此新的j = 3
* 这时，新的 j = 3 仍然不能满足 A[i + 1] = B[j + 1]，此时我们
再次减小 j 值，将 j 再次更新为 P[3]：
* 注：此时 i = 7,j = 3 且 A[8] ̸= B[4]；由于 P[3] = 1, 因此新的j = 1
* 现在，i 还是 7，j 已经变成 1 了。而此时 A[8] 居然仍然不等于 B[j + 1]。这样，j 必须减小到 P[1]，即 0：
* 注：此时 i = 7,j = 0，代表不存在 j 使得A[i − j + 1..i] = B[1..j]
❺ KMP - KMP 算法 - j = 0
* 终于，A[8] = B[1]，i 变为 8，j 为 1。
* 事实上，有可能 j 到了 0 仍然不能满足 A[i + 1] = B[j + 1]（比如 A[8] = ”d” 时） 。
* 因此，准确的说法是，当 j = 0 时，我们增加 i 值但忽略 j 直到出现 A[i] = B[1] 为止。
* 注：一直增加 i 直到出现 A[i] = B[1] 为止
❻ KMP - KMP 算法 - 代码实现
* 这个过程的代码很短（真的很短） ，我们在这里给出
int j=0;//j指针的初始值为0 for(int i=1; i<=n; i++) { //顺序枚举指针i，逐步增加 while(j>0&&A[i]!=B[j+1]) { j=P[j];//不匹配时减小j指针的值 } if(B[j+1] == A[i]) j=j+1; //匹配则i和j都增加1 if(j==m) {// 找到了一个匹配 cout<<"Pattern occurs with shift"<<i-m;// 这次匹配出现在 i-m 位置 j=P[j]; // 我们希望找到更多的匹配 } }
❼ KMP - KMP 时间复杂度分析
* 现在，我们还遗留了两个重要的问题：
1 为什么这个程序是线性的？(时间复杂度为 O(N))
2 如何快速预处理 P 数组。
* 为什么这个程序是 O(n) 的？其实，主要的争议在于，while 循环使得执行次数出现了不确定因素。
* 我们将用到时间复杂度的均摊分析中的主要策略：* 我们从上述程序的 j 值入手。每一次执行 while 循环都会使 j减小（但不能减成负的） ；使得j 值增加的地方只有第五行，而且每次 j 都只能加 1；因此，整个过程中 j 最多加了 n 个 1。于是，j 最多只有 n 次减小的机会。这告诉我们，while 循环总共最多执行了 n 次。
* 这样，整个过程显然是 O(n) 的。
❽ KMP - 预处理 P 数组
* 预处理不需要按照 P 的定义写成 O(m 2 ) 甚至 O(m 3 ) 的。
* 我们可以通过 P[1],P[2],…,P[j-1] 的值来获得 P[j] 的值* 对于刚才的B=”ababacb”，假如我们已经求出了 P[1], P[2],P[3] 和 P[4]，看看我们应该怎么求出 P[5] 和 P[6]。
* P[5]=3 是因为 B[1..3] 和 B[3..5] 都是”aba”；而 P[3]=1则告诉我们，B[1],B[3] 和 B[5] 都是”a”。既然 P[6] 不能由P[5] 得到，或许可以由 P[3] 得到（如果 B[2] 恰好和 B[6]相等的话，P[6] 就等于 P[3]+1 了） 。
* 但 P[6] 也不能通过 P[3] 得到，因为 B[2]̸=B[6]。事实上，这样一直推到 P[1] 也不行，最后，我们得到，P[6]=0。
* 注：当 i=5,j=3 时，由于 B[6]̸=B[4]，所以 j=P[3]=1；再由于 B[6]！=B[2]，所以 j=P[1]=0
❾ KMP - 预处理 P 数组 - 代码实现
* 怎么这个预处理过程跟前面的 KMP 主程序这么像呢？其实，KMP的预处理本身就是一个 B 串“自我匹配”的过程(它的代码和上面的代码神似)：
p[1]=0; j=0; for(int i=2; i<=m; i++) { while(j>0 && B[j+1] != B[i]) { // 减小 j 指针的值 j=P[j]; } if(B[j+1] == B[i]) { // 如果匹配则增加 j 指针的值 j+=1; } P[i] = j;// P 数组赋值 }
几个模板题，想练手的可以看一下：
http://www.cnblogs.com/wsdestdq/p/6821229.html
( ⊙ o ⊙ )！ OK！！
只要还有明天，今天就是起跑线。相信自己，你并没有输在起跑线上！！
