区间DP

母题

令 \(f[i,j]\) 表示区间内的信息。

考虑转移就是 \(f[i,j]=f[i,k]+f[k+1][j]+merge([i,k],[k+1,j])\)，merge 可以用前缀和。

\({1,2,3}\in\) 动态规划的题目(CSDN)

1（NO.4）

考虑若两端点相等，那么可以连着，即 \(a_i=a_j,f[i][j]\leftarrow f[i+1][j-1]\)，还有一种情况类似于上面的直接劈开。

2（NO.5）

比较麻烦，类似于母题，但是需要加一些特殊处理，而且边界。

3（NO.69）

转移有很多。

首先如果 \(s[i]==s[j]\)，你可以考虑 \(f[i][j]\leftarrow f[i+1][j],f[i][j-1],f[i+1][j-1]+1\)（前两个必选一个，最后一个可选可无）。

其次就是类似于母题的转移。

对于上面那个，可以理解为覆盖的顺序是可以灵活调动的，而第三个并不符合这一点。

AcWing 479. 加分二叉树

这道题是区间DP的灵活运用，表示的是中序遍历对应的区间，众所周知，中序遍历最中间的是根，而且加分时也是以根为分界计算的，所以划分依据就是根的位置。最后通过枚举根的位置划分，dfs找的过程复杂度为 \(O(n^2)\)（每次找一个根是 \(O(n)\)）。

P4563 [JXOI2018] 守卫

误导性极强，但是答案的求解是区间，所以是区间DP，右端点不断右移，左端点往回扫。

上下序列

设计很一般，还是考虑每次新加入两个数与 \([l,r]\) 的关系比较、两个数需要相等，重点在于转移的条件（比较繁琐，要逐个检查 \(k\) 个，因此设计函数）。

CF149D

状态：基本信息+题目要求的三种颜色

转移：

1. 边界，\(l+1=r\)。
2. 包含。
3. 并列。

括号序列

CF149D对本题有借鉴意义，转移、状态有一定相似度。我们需要考虑用状态存储几种类型的字符串，然后才能转移，而且转移还要分类在这几类中互相转化。

A 魔力屏障

状态：基本状态+考虑到法力值小加入状态中。
转移考虑两次能量波的使用，合并区间，故用区间DP。

洗车

状态设计上考虑到如果那样设计会出现反悔，所以修改状态。由于会选择这些店中最便宜的一个进行一次消费，所以状态里会增加一维最小值。合并区间时是 \([l,p-1],\{p\},[p+1,r]\)。

51nod-3972-战斗队形

本题关键在于如果基本状态交换信息就不能存储，很麻烦，所以我们存储最值，这样就可以方便的往左边和右边扩展，或者同时往两边推进，交换。

总结

左端点倒着枚举，右端点顺着枚举可以保证大区间用到小区间信息时都已经求出

区间 DP，状态必须有区间，基本的题都有边界的处理（如1,3中相等的情况，2中一匹、两匹，以及1，2中合并的处理），当然必不可少的是区间的合并。

发现小区间的答案可以转移到大区间，如果转移可以分类就要分类转移，如果边界的类型不同，可能需要增加一维记录类型。划分点可以是在区间上的，也可以树上的根节点，反正都是中间的部分。

答案求解或者某个点会有提示。

最优解可能用到贪心思维。

状态里除了区间信息如果不够需要增加其他维度，大部分情况下只需要记录区间信息，且普遍复杂度为 \(O(N^3)\)。

难度在于答案的计算或者答案转移的条件判断。

括号序列的题关键：并列、包含两种关系分类转移。
合并区间时有包含当前点（属于左区间或右区间）、当前点单独一部分、刨除当前点的情况，具体情况具体分析。