HDU 3068 最长回文 （Manacher最长回文串）

Problem Description

给出一个只由小写英文字符a,b,c...y,z组成的字符串S,求S中最长回文串的长度.
回文就是正反读都是一样的字符串,如aba, abba等

 

 

Input

输入有多组case,不超过120组,每组输入为一行小写英文字符a,b,c...y,z组成的字符串S
两组case之间由空行隔开(该空行不用处理)
字符串长度len <= 110000

 

 

Output

每一行一个整数x,对应一组case,表示该组case的字符串中所包含的最长回文长度.

 

 

Sample Input

aaaa abab

 

 

Sample Output

4 3

题意：模板题，求最长回文子串的长度，字符串长度有11W,可以用manacher算法，注意输入的时候如果写成while(scanf("%s", a))会tle，应该写成while(scanf("%s", a) == 1)

manacher(马拉车)算法：复杂度O(n)

作用：给出一个字符串，求它的最长回文子串（的长度），求具体的串可以在模板上改一改

1.将字符串之间插入串中不可能有的字符，如将a a b a b a a b处理成 $ # a  # a # b # a # b # a # a # b #, 

  一个回文串是对称的，既然对称，就一定有那个“对称轴”，对于长度为奇数的回文，它的对称轴是一个字符，对于长度为偶数的回文串，它的对称轴是两个字符。为了方便处理，将所有回文串的对称轴变为一个字符，可以如上插入不相关字符，这样连上刚插入的字符，原串就变成了奇数长度。 最前面的  '$' 是为了防止溢出（我也不太懂）

2.设数组Mp[i]为以i为中心的回文串的半径长度，

i          0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17

ma[i]   $  #  a  #  a  #  b  #  a  #  b  #   a   #   a   #   b   #

mp[i]   0  0  1  2  1  0  3  1  7  ...  

如此可以观察到mp[i]也代表 原串中 以i为中心的回文串的长度 ！ 所以最长回文串的长度就是mp数组中的最大值了

3.求mp数组

用i将整个ma数组遍历一遍，在遍历的过程中维护一个已知的最长回文串，这个回文串要求它的右边界最靠右、右边界相同的话中心最靠左， 

以下转载于https://www.felix021.com/blog/read.php?2040

该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，其中 id 为已知的 {右边界最大} 的回文子串的中心，mx则为id+mp[id]，也就是这个子串的右边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多：

//记j = 2 * id - i，也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点(j = id - (i - id))
if (mx - i > mp[j]) 
    mp[i] = mp[j];
else /* mp[j] >= mx - i */
    mp[i] = mx - i; // mp[i] >= mx - i，取最小值，之后再匹配更新。

当然光看代码还是不够清晰，还是借助图来理解比较容易。

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。


对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

于是代码如下：

//输入，并处理得到字符串s
int mp[1000], mx = 0, id = 0;
memset(mp, 0, sizeof(mp));
for (i = 1; s[i] != '\0'; i++) {
    p[i] = mx > i ? min(mp[2*id-i], mx-i) : 1;
    while (s[i + mp[i]] == s[i - mp[i]]) mp[i]++;
    if (i + mp[i] > mx) {
        mx = i + mp[i];
        id = i;
    }
}
//找出mp[i]中最大的

整个manacher算法就是这些，另外贴一下该题目的代码，也是manacher的模板，模板取自上海大学kuangbin

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define clr(a,  x) memset(a,  x, sizeof(a))
typedef long long ll;
typedef long double ld;

using namespace std;

const int maxn = 110011;
char ma[maxn * 2];
int mp[maxn * 2];


void manacher(char s[], int len){
	int l = 0;
	ma[l++] = '$';
	ma[l++] = '#';
	for(int i = 0 ; i < len; i++){
		ma[l++] = s[i];
		ma[l++] = '#';
	}
	ma[l] = 0;
	int mx = 0, id = 0;
	for(int i = 0; i < l; i++){
		mp[i] = mx > i ? min(mp[2*id - i],mx - i): 1;
		while(ma[i + mp[i]] == ma[i - mp[i]])mp[i]++;
		if(i + mp[i] > mx){
			mx = i + mp[i];
			id = i;
		}
	}
}

int main(){
	char s[maxn];
	while(scanf("%s", s) == 1){
		int len = strlen(s);
		manacher(s, len);
		int ans = 0;
		for(int i = 0; i < 2 * len + 2; i++)
		    ans = max(ans, mp[i] -1);
		printf("%d\n", ans);
	}
    return 0;
}