第五次作业

一、回溯法分析“最小重量机器设计问题”

1.1 最小重量机器设计问题的解空间

最小重量机器设计问题的描述：机器由n个部件组成，每个部件可以从m个供应商处采购，供应商j提供的部件i的重量为w_{ij}、价格为c_{ij}。要求总价格不超过预算C，选择每个部件的供应商，使得机器的总重量最小。

其解空间是所有满足“每个部件选且仅选一个供应商”的组合集合，形式化表示为X=(x_1, x_2, ..., x_n)，其中x_i \in {1,2,...,m}，表示第i个部件选择第x_i个供应商。解空间的规模为m^n（n个部件，每个有m种选择）。

1.2 最小重量机器设计问题的解空间树

该问题的解空间树为m叉树，树的深度为n（对应n个部件）：

• 根节点：第0层，未选择任何部件的初始状态。
• 第k层节点（1≤k≤n）：表示已确定前k-1个部件的供应商，正在选择第k个部件的供应商。每个第k层的节点有m个子节点，分别对应第k个部件选择第1~m个供应商。
• 叶子节点：第n层节点，对应一个完整的解（所有部件的供应商都已选定）。

例如，当n=2、m=3时，解空间树是深度为2的3叉树，根节点生3个第一层节点（对应部件1选供应商1/2/3），每个第一层节点再生3个第二层叶子节点（对应部件2选供应商1/2/3），共9个叶子节点（对应全部解）。

1.3 遍历解空间树时每个结点的状态值

遍历过程中，每个节点需记录三个核心状态值，用于剪枝和计算解的属性：

1. 已选部件数：记为k，表示当前已确定前k个部件的供应商（对应解空间树的层数）。
2. 累计价格：记为sumC，表示前k个部件选择对应供应商后的总价格，用于判断是否超过预算C（若sumC > C，则该节点的子树无需遍历，剪枝）。
3. 累计重量：记为sumW，表示前k个部件选择对应供应商后的总重量，用于后续计算完整解的总重量，并与当前最优解比较更新。

此外，还可记录当前选择的供应商序列（x_1, x_2, ..., x_k），用于最终输出最优解的具体选择。

二、对回溯算法的理解

回溯算法是一种基于深度优先搜索的暴力搜索优化策略，核心是“尝试-回退”：

1. 解空间遍历：将问题的解表示为一个决策序列，通过递归或迭代遍历解空间树的节点，逐步构建解的候选。
2. 剪枝策略：在遍历过程中，通过约束函数（排除违反问题约束的路径，如机器设计问题中累计价格超预算）和限界函数（排除不可能得到更优解的路径，如累计重量已超过当前最优重量）剪枝，减少无效搜索，提升效率。
3. 适用场景：适用于组合优化问题（如0-1背包、旅行售货员、机器设计），尤其适合解空间规模较大但可通过剪枝大幅缩小搜索范围的问题。
4. 本质：是“穷举”的智能优化，不追求多项式时间复杂度，而是通过剪枝降低实际搜索的节点数，在小规模问题或中等规模问题中表现较好；但对于大规模问题，若剪枝效果差，时间复杂度仍会达到指数级。