第四次作业

一、选点问题分析与算法详解
你需要解决的是数轴上的选点问题：给定n个闭区间，选取最少的点使得每个区间内至少有一个点。

1. 贪心策略
   将区间按右端点升序排序，遍历区间时选择当前区间的右端点作为选点（仅当当前区间不包含已选点时）。
   排序：将所有闭区间按照右端点bi从小到大的顺序进行排序。
   选点：初始化一个点dian（初始值设为极小值，如-1e9），遍历排序后的区间：如果当前区间的左端点ai大于dian，说明当前区间不包含已选的点，则选择该区间的右端点b作为新的点，同时计数加 1；如果当前区间包含已选的点，则跳过。
2. 贪心选择性质证明
   贪心选择性质：每一步的局部最优选择可以导致全局最优解。
   反证法证明该策略的正确性：
   假设：存在一个全局最优解S，其第一个选点不是第一个区间的右端点b1，而是另一个点x（x>b1或x<b1）。
   情况1（x>b1）：第一个区间[a1, b1]不包含x，违反 “每个区间至少有一个点” 的要求，因此x不可能大于b1。
   情况2（x<b1）：由于所有区间已按右端点排序，后续区间的右端点都≥b1，且第一个区间的左端点a1≤x<b1。此时，将x替换为b1，新的点集S'仍然满足所有区间的要求（因为b1在第一个区间内，且后续区间的左端点若≤x则必然≤b1，若>x则可能需要新增点，但替换后点的数量不会增加）。
   结论：选择第一个区间的右端点b1是局部最优的，且可以推广到后续所有区间。因此，该算法满足贪心选择性质。
3. 时间复杂度分析
   算法的时间消耗主要分为两部分：
   排序：对n个区间按右端点排序，使用标准排序算法sort的时间复杂度为O(nlogn)。
   遍历：遍历n个区间进行选点，时间复杂度为O(n)。
   因此，算法的总时间复杂度为O(nlogn)。

二、对贪心算法的理解
贪心算法是一种基于来追求全局最优解的算法设计策略，核心思想是：在每一步决策中，都选择当前看起来最优的选项，不回溯、不考虑后续的影响。

1. 贪心算法具有的性质
   贪心选择性质：每一步的局部最优选择能导致全局最优解。
   最优子结构性质：问题的全局最优解包含其子问题的最优解（与动态规划的共性）。
2. 贪心算法的特点
   优点：代码简洁、时间复杂度低（通常为O(n)或O(nlogn)），执行效率高。
   缺点：并非所有问题都适用，只有满足贪心选择性质的问题才能用贪心算法求解；如果贪心策略选择不当，会得到局部最优但全局次优的解。