第三次作业

一、问题分析与动态规划求解步骤
1.1 递归方程式定义、边界条件（基于最优子结构）
该问题的核心是利用动态规划的最优子结构性质：从顶部到底部的最大路径和，可分解为 “当前元素 + 下一行左右两个位置到底部的最大路径和” 的最优选择。
状态定义：设 dp[i][j] 表示从第 i 行第 j 列元素到三角形底部的最大路径和。
递归方程式：dp[i][j] = arr[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])。
解释：当前位置的最大路径和，等于当前元素值加上其下方左侧（i+1,j）和右侧（i+1,j+1）位置中最大的路径和。
边界条件：当 i = n-1（最后一行）时，dp[n-1][j] = arr[n-1][j]（j 从 0 到 n-1）。
解释：最后一行元素到自身（底部）的路径和就是其本身，无后续元素可累加。
1.2 填表法的关键参数
表的维度：采用二维数组存储，维度为n×n。实际有效元素为第 i 行第 j 列（0≤i<n，0≤j≤i），其余位置未使用。
填表范围：所有有效元素，即 i 从 0 到 n-1，j 从 0 到 i。
填表顺序：从下往上逆向填充。
外层循环 i 从 n-2 到 0（从倒数第二行开始向上），内层循环 j 从 0 到 i（每行从左到右）。
原问题的最优值元素：dp[0][0]。dp[0][0] 对应从顶部（第 0 行第 0 列）到底部的最大路径和，直接作为最终输出。
1.3 算法复杂度分析
时间复杂度：O(n²)。外层循环执行 n-1 次（i 从 n-2 到 0），内层循环每行执行 i+1 次（j 从 0 到 i），总执行次数为 1+2+...+(n-1) = n(n-1)/2。
空间复杂度：O(n²)。代码使用二维数组 arr[n][n] 存储输入数据和子问题解，空间占用与 n² 成正比。
二、对动态规划算法的理解和体会
动态规划的本质是 “分解子问题 + 复用子解”，核心解决两类问题：一是 “重叠子问题”（不同原问题路径会重复经过同一子节点，需避免重复计算）；二是 “最优子结构”（原问题的最优解可由子问题的最优解构造）。以数字三角形为例：从顶部到任意节点的路径可能有多种，但只需存储 “该节点到底部的最大路径和” 这一子解，无需重复计算所有路径；而每个节点的最优子解，又能通过其下方两个节点的最优子解推导得出。
数字三角形若用贪心算法（每次选择下方较大元素），可能因局部最优导致全局最优丢失（例如某一步选较小元素，但后续有更大累加和）。而动态规划通过遍历所有子问题的最优解，能确保最终结果是全局最优。此外，动态规划通过空间换时间，将暴力法 O(2ⁿ) 的指数级复杂度降至 O(n²)，使 n=100 这类规模的问题能高效求解，体现了 “以空间换效率” 的算法设计思想。