第二次作业

1.找第k小的数的分治算法描述
（1）算法描述：该算法基于快速排序的分区思想，但只递归处理包含第k小元素的那一部分，从而平均情况下达到O(n)时间复杂度。
（2）具体步骤：
①在数组的当前查找范围 [left, right]中，选择一个基准元素（biaobin）。
②对数组进行分区，使得分区后：基准元素位于最终排序后的正确位置mid，左边所有元素 ≤ 基准元素，右边所有元素 ≥ 基准元素。
③计算基准元素的排名：currentRank = mid - left + 1
④比较排名与k：
如果 currentRank == k：基准元素就是第k小的元素，直接返回；
如果 currentRank > k：第k小元素在左半部分，递归在 [left, mid-1]中找第k小的元素；
如果 currentRank < k：第k小元素在右半部分，递归在 [mid+1, right]中找第 k - currentRank小的元素。

2.时间复杂度分析
（1）最好情况时间复杂度：O(n)
发生条件：每次分区都能将数组均匀分成两半
递归方程：T(n) = T(n/2) + O(n)
计算过程：
第一层：工作量 ≈ n
第二层：工作量 ≈ n/2
第三层：工作量 ≈ n/4
总和：n + n/2 + n/4 + ... ≤ 2n
结果：O(n)
（2）最坏情况时间复杂度：O(n²)
发生条件：每次分区都极不均匀（如数组已排序且总是选择最边缘元素作为基准）
递归方程：T(n) = T(n-1) + O(n)
计算过程：
第一层：工作量 ≈ n
第二层：工作量 ≈ n-1
第三层：工作量 ≈ n-2
总和：n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2
结果：O(n²)

3.对分治法的体会和思考
（1）分治法————分而治之：将原问题分解为若干个规模较小的子问题，递归解决子问题，然后合并子问题的解得到原问题的解。
分解（Divide）：将原问题划分成多个子问题，通过partition将数组划分为三个部分（小于基准、等于基准、大于基准）。
解决（Conquer）：递归求解各个子问题，只在包含目标的子数组中递归查找，避免不必要的计算。
合并（Combine）：将子问题的解合并成原问题的解，直接返回找到的结果，无需复杂的合并操作。
（2）分治法适用条件：
①问题可以分解为相互独立的子问题
②子问题的解可以合并为原问题的解
③子问题的规模足够小时可以直接求解
（3）学习体会和思考
通过学习分治法，我深刻体会到"大事化小、小事化了"的思想在算法设计中的巧妙应用。这种思想不仅适用于算法设计，也适用于解决生活中的复杂问题——将大问题分解为小问题，逐个击破。