WUSTOJ 1287: B304（Java：355ms，C：8ms）

题目：🔗1287: B304
参考：🔗WUST OJ 1287：B304（DP）——Mitsuha_
题目📄
  • 有一间教室，里面有N行M列桌子（N和M键盘输入）
  • 每个桌子上最多有一朵🌸（0朵花或者1朵花），🌸的总数量不限
  • 每行和每列的🌸的数量都只能为奇数
  • 最多有100行100列桌子
  • 问题：有N行M列桌子，🌸的摆放方法有多少种？
分析

感谢参考博客，因为我是直接拿参考博客的代码运行，通过大量数据总结的规律。
实际上，这种题做的少的话，不容易找到规律（不信可以试试😏）。

👇画表格分析（带下划线的数据是🔗参考博客代码运行出来的，如果你能算出来，评论区讨论✒️，给你点赞👍表示佩服）

N \ M123456
1101010
20208032
3101602560
4080512032768
5102560655360
6032032768033554432
  • 最先想到的应该是对称矩阵，因此代码中，我们只需要初始化右上三角部分即可（注：文末有思考题，看完再思考。）
  • 其次，可以发现规律：N和M奇偶性不同的时候，方法种数必为0。（能手画总结出来）

看完表格可能就发现所有的数都是2n（n为自然数）的形式，n的取值情况如👇，不考虑上面表格中值为0的情况，不考虑左下三角的情况：

N \ M123456
1000
2135
348
4915
516
625

可以看（连猜带蒙）出

第1行的公差d1为	2 * (1 - 1)
第2行的公差d2为	2 * (2 - 1)
第3行的公差d3为	2 * (3 - 1)，待验证
第4行的公差d4为	2 * (4 - 1)，待验证
...
第i行的公差di为	2 * (i - 1)
...

递推公式：di = 2 * (i - 1)

你会想，要是不同行之间也有规律就好了。你别说还真有，请看对角线数据，注：第1个1是初始化的，不在表格中

 0 =  1 + 2 * (1 - 1) - 1
 1 =  0 + 2 * (2 - 1) - 1
 4 =  1 + 2 * (3 - 1) - 1
 9 =  4 + 2 * (4 - 1) - 1
16 =  9 + 2 * (5 - 1) - 1
25 = 16 + 2 * (6 - 1) - 1

由于di = 2 * (i - 1)，故
 0 =  1 + d1 - 1
 1 =  0 + d2 - 1
 4 =  1 + d3 - 1
 9 =  4 + d4 - 1
16 =  9 + d5 - 1
25 = 16 + d6 - 1

递推公式：an = an-1 + dn - 1
递推公式都有了，现在代码写起来简单了吧！

Java
/**
 * Time 355ms
 * @author wowpH
 * @version 2.2
 * @date 2019年5月23日下午6:56:10
 * Environment:	Windows 10
 * IDE Version:	Eclipse 2019-3
 * JDK Version:	JDK1.8.0_112
 */

import java.util.Scanner;

public class Main {
	private static final int MOD = 1000000007;	// 取模
	private static final int MAX_NM = 101;		// 桌子最多100行100列

	private int[][] ways;	// n行m列桌子有ways[n][m]种方法，下标从1开始

	public Main() {
		init();		// 初始化

		int m, n;
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		while (sc.hasNext()) {
			n = sc.nextInt();	//行数
			m = sc.nextInt();	//列数
			// 只初始化右上三角部分，故需要判断
			if (n < m) {
				System.out.println(ways[n][m]);
			} else {
				System.out.println(ways[m][n]);
			}
		}
		sc.close();
	}

	private void init() {
		ways = new int[MAX_NM][MAX_NM];	// 下标从1开始
		int diagonal = 1;	// 对角线方法种数的指数（注：初始化为1，见分析）
		int d;	// 公差，第k+2列与第k列的方法种数的指数的差

		// 计算第i行的方法种数
		for (int i = 1; i < MAX_NM; i++) {
			d = 2 * (i - 1);	// 第i行桌子的公差
			diagonal += d - 1;	// ways[i][i]的指数等于左上角位置的指数加(d-1)

			ways[i][i] = 1;		// 初始i行i列桌子的方法数为1
			// 计算i行i列桌子的方法种数
			for (int j = 0; j < diagonal; j++) {
				ways[i][i] = (ways[i][i] << 1) % MOD;
			}

			// 计算第i行第j列的方法种数
			for (int j = i + 2; j < MAX_NM; j += 2) {
				// 初始第j列的方法种数为第j-2列的方法种数
				ways[i][j] = ways[i][j - 2];
				// 第j列是第j-2列的【2的d次方】倍，左移d次
				for (int k = 0; k < d; k++) {
					ways[i][j] = (ways[i][j] << 1) % MOD;
				}
			}
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		new Main();
	}
}
C（注释见Java版）
/**
 * Time 8ms
 * @author wowpH
 * @version 1.1
 * @date 2019年5月24日17:24:20
 */

#include<stdio.h>

#define MAX_NM 101
#define MOD 1000000007

int ways[MAX_NM][MAX_NM];

void init() {
	int diagonal = 1;
	int d;

	for (int i = 1; i < MAX_NM; i++) {
		d = 2 * (i - 1);
		diagonal += d - 1;

		ways[i][i] = 1;
		for (int j = 0; j < diagonal; j++) {
			ways[i][i] = (ways[i][i] << 1) % MOD;
		}

		for (int j = i + 2; j < MAX_NM; j += 2) {
			ways[i][j] = ways[i][j - 2];
			for (int k = 0; k < d; k++) {
				ways[i][j] = (ways[i][j] << 1) % MOD;
			}
		}
	}
}

int main() {
	init();

	int m, n;
	while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
		if (n < m) {
			printf("%d\n", ways[n][m]);
		}
		else {
			printf("%d\n", ways[m][n]);
		}
	}
	return 0;
}

注释如此详细，应该能看懂吧！
思考题：为什么初始化右上角部分，而不是左下角部分？（大佬跳过）
答：现在假设你的程序已经计算出了第一个数[1][1]，因此题目演变成你现在要计算[1][3]还是[3][1]的问题？很明显，计算[1][3]只需要移动1位，而计算[3][1]需要移动12位，其他数据同理，前者块，后者慢。
结论：访问二维数组的时候，尽量将移动距离大的（一维）放在外层循环，移动距离小的（二维）放在内层循环。不仅限于此，其他地方也可以这么思考。

如有帮助，还望👍支持，谢谢！

备注：第一次发现可以贴表情，所以用的有点多，见谅！

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posted @ 2019-05-24 00:33  wowpH  阅读(157)  评论(0)    收藏  举报