第三章 动态规划

实践报告：7-4 最低通行费

1.1 递归方程式

状态定义：设 dp[i][j] 表示商人从左上角 (1,1) 走到格子 (i,j) 时，已经缴纳的最小总费用（包含 (i,j) 本身的费用）。

状态转移方程：

dp[i][j] = a[i][j] + \min(dp[i-1][j],\ dp[i][j-1])

其中 a[i][j] 是题目给定的、经过格子 (i,j) 需要缴纳的费用。这个方程的依据是：到达 (i,j) 的最后一步，要么是从上方 (i-1,j) 下来的，要么是从左方 (i,j-1) 过来的。在“只能向右或向下走”的前提下，没有第三种可能，所以取两个前驱状态中费用较小的那个，再加上当前格子的费用即可。

边界条件：

· dp[1][1] = a[1][1]：起点没有前驱，费用就是它本身的费用。
· 第一行（i = 1, j > 1）：dp[1][j] = dp[1][j-1] + a[1][j]。第一行的格子只能从左边走过来，没有“上方”可选。
· 第一列（j = 1, i > 1）：dp[i][1] = dp[i-1][1] + a[i][1]。第一列的格子只能从上边下来，没有“左方”可选。

这里有一个实际写代码时容易踩的坑：如果数组从 0 开始存、并且把整个 dp 表默认初始化为 0，那么在求最小值的语境下，第 0 行和第 0 列那些“不存在的位置”会以费用 0 的身份被错误地参与 min 比较，导致第一行或第一列的结果被压低。稳妥的做法是把第一行和第一列单独手动累加，或者把边界外侧初始化为一个足够大的数，让它们永远不可能被选为最小值。

1.2 填表法

表的维度：二维表，大小为 N × N，dp[i][j] 对应网格中第 i 行第 j 列的位置。

填表范围：i 从 1 到 N，j 从 1 到 N。整个表都要填，因为最终答案需要用到右下角的值，而每一个格子的值都只依赖于它的上方和左方，所以不存在“某些格子可以不填”的情况。

填表顺序：按行从上到下，每行内从左到右。理由很直接：dp[i][j] 依赖 dp[i-1][j]（上一行同列，已经填过）和 dp[i][j-1]（本行前一列，刚刚填过）。按这个顺序走一遍，每个格子被计算时，它需要的两个值都已经准备好了，不需要回溯或重复访问。

原问题的最优值：表格元素 dp[N][N]，也就是走到右下角那个格子的最小累计费用。

1.3 时间和空间复杂度

时间复杂度：O(N^2)。填表过程本质上是把 N \times N 个格子各访问一次，每个格子的转移只做了一次加法和一次比较，是常数时间操作。第一行和第一列的初始化各花 O(N)，被 O(N^2) 的主体部分吸收，所以总量级仍然是 O(N^2)。

空间复杂度：O(N^2)，需要一个和原网格同规模的二维 dp 表。严格来说，如果只求最终费用而不需要回溯路径，可以用一维滚动数组把空间压到 O(N)：因为 dp[i][j] 只依赖“上一行同列”和“本行前一列”两个值，遍历到第 i 行时，第 i-2 行及更早的数据已经不会再被用到了。但按照填表法的标准写法，不做这个优化时，空间就是 O(N^2)。

对动态规划算法的理解和体会

做这道题之前，我对动态规划最直接的印象是“把大问题拆成小问题，把算过的存起来”。这个说法本身没错，但放在这道题上，如果只记住这句话，大概率会卡在两个地方。

第一个卡点是 2N-1 这个时间限制。一开始很容易把它当成一个额外的“优化目标”，去想有没有什么走法能在 2N-1 步之内“尽量省费用”。但实际上，N×N 网格从左上到右下，最短路径的长度恰好就是 2N-1 步（起点算一步的话是 2N-1，不算起点是 2N-2 步）。题目说“必须在 2N-1 个单位时间穿越出去”，意思是在步数上没有任何余量——一旦向左或向上走一步，就必然超出限制。所以这个条件的真正作用不是“目标”，而是约束的翻译：它把“上下左右都能走”的模糊局面，一刀切成了“只能向右或向下”。想通这一点之后，后面的状态定义和转移方程几乎是自然浮现的。我后来觉得，动态规划题里最花时间的往往不是写递推式，而是把题面里一句看似普通的话，翻译成状态空间上的一个硬性剪枝。

第二个卡点是边界的“最小值陷阱”。求最大值的时候，数组默认初始化为 0 问题不大，因为 0 本来就不可能被最大值选中；但求最小值时，默认的 0 会变成一个“非法但极具竞争力”的候选者。如果不把第一行和第一列手动处理好，dp[1][2] 会去比较 dp[0][2] = 0，然后得到一个明显偏小的错误结果。这让我意识到，动态规划里“边界条件”不是走过场的仪式，而是状态转移方程在定义域边缘处能不能成立的关键：边界处理错了，中间填得再规整也是错的。

还有一点体会是关于“状态定义”和“代码实现”的关系。这道题的代码其实很短，核心循环就那几行，但如果 dp[i][j] 的含义没有想清楚——“是从起点到该点的最小费用，还是从该点出发到终点的最小费用？包不包含当前格子的费用？”——写出来的递推式就会在某个地方差一个 a[i][j]。动态规划的难度集中在动手之前：把状态的含义钉死，把转移的方向理顺，把边界确认一遍。这三件事做扎实了，填表本身反而是最机械的部分。