算法第二章

找第k小的数

找第k小的数可以用分治法来做。思路是：在当前区间里选一个基准数，比如选第一个数。然后做一次划分，让左边都不大于基准，右边都不小于基准。划分后基准会落在位置p。这时候基准在当前区间里的排名是 rank = p - left + 1。如果 k 等于 rank，说明基准就是第k小，直接返回。如果 k 小于 rank，说明第k小在左边，就去左边继续找。如果 k 大于 rank，说明第k小在右边，就去右边继续找，但这时候要找的是右边的第 k - rank 小。每次只递归一边，所以平均比较快。

伪代码可以写成：

find(a, left, right, k)
如果 left 等于 right，返回 a[left]
p = partition(a, left, right)
rank = p - left + 1
如果 k 等于 rank，返回 a[p]
如果 k 小于 rank，返回 find(a, left, p - 1, k)
否则，返回 find(a, p + 1, right, k - rank)

时间复杂度分析：

最好情况是每次划分都很均匀，基准差不多在中间。这样每次只处理一半，时间大约是 n + n/2 + n/4 + ...，所以最好时间复杂度是 O(n)。

最坏情况是每次划分都很偏，比如基准总是最大或最小。这样每次只减少一个元素，时间大约是 n + (n-1) + (n-2) + ...，所以最坏时间复杂度是 O(n^2)。

平均情况下，划分比较均匀，所以平均时间复杂度是 O(n)。

分治法学习体会：

分治法不一定非要左右两边都递归。找第k小就是只递归可能有答案的那一边，另一边直接不管，这样效率更高。它让我明白，分治的关键是把问题分开，然后只处理真正需要的部分。划分是否均匀很重要，如果每次都很偏，效率会变差，所以可以用随机选基准来避免最坏情况。另外，递归右边时 k 要减去 rank，这个细节也说明分治里参数调整很重要。总的来说，分治法是一种把大问题拆小、减少工作量的思想。