省选联考2022 VP挂分记

• 这段文字来自于原 省选复习，由于整理的需要，被单独拿出来了。

• 这段文字写于 2024 年，那时候作者水平不高，各位大佬见到不要嘲讽 qaq

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Day1

概况

\(100+21+20=141\)，感觉什么都不会。

T1 模拟，但是一开始没看懂递归展开的定义研究了好久，也不知道怎么做，还和多次展开搞混了好几次。

后来想了一个非常暴力的做法，直接暴力维护每个位置被哪些宏展开过，不能重复展开，这个可以用 bitset。然后每次暴力一遍一遍扫去匹配看看有没有能展开的，碰到就暴力展开并维护展开的宏，如果有一次没找到能展开的就结束寻找并输出。

很暴力，感觉复杂度不对但是绝对跑不满。

然后就写了将近 2h，废。

看 T2，数数题，对于与值域无关的算法完全想不到，\(O(nK)\) 的也想不到，只会 \(O(n^2K)\)，这样可以拿 20。

其实有好几个 \(O(n^2K)\) 的想法，感觉比较好写的是枚举最大值的位置再枚举最大值，以这个位置为根 dfs 整棵树计算每个位置有多少种取值，然后想办法计算方案数和权值和。

可能会出现多个最大值，这个时候钦定编号最小的为最大值，即算取值方案数的时候编号大于它的可以取到 \(mx\)，小于它的不行。

然后方案数对了，但是权值和调了好久都过不了样例二，交上去的时候就估分 14。结果模拟过后上洛谷测发现 21，多过了后面一个 \(n\leq 200,K\leq 200000\) 的点的第一问，大概因为跑不满吧。

后来发现如果要对每个子树的权值和分别算贡献，应该乘上其它子树权值方案数的和而不是大小的和。如果场上调出来就有 30 了，悲。

T3 题目一看就不想看，看完了也不想写，但是发现数据范围的表很大，就看了一下，诶这题怎么送了 20 分啊，送的分还不拿那不是傻。加上第一个点的暴力还有 24 呢，比 T2 分还高。

可惜多测，第一个点的爆搜忘记每次把最大值初始化为 \(0\) 了，所以 -4，悲。

后来发现自己的 T1 代码是全机房最长。果然不会写模拟，废。

补题

T1-P8289

见上文。

T2-P8290

可能从一开始思路就稍微有点偏差，所以优化不下去了。我想的是先枚举点，再枚举最大值，再统计答案，这样 \(O(n^2K)\) 似乎是什么样都无法优化掉的。而如果先枚举最大值/最小值，然后再树形 dp 就有优化到 \(O(nK)\) 的可能。

假设此时钦定最小值为 \(mn\)，所以我们需要找到权值在 \([mn,mn+K]\) 中的方案。这样的计算有一些问题：可能算出的答案包含一些最小值 \(> mn\) 的方案，处理也很简单，只要再做一遍 dp，减去权值在 \([mn+1,mn+K]\) 范围内的方案就行了。这个做法用换根 dp 或者是写的好一点的计数 dp 似乎可以拿到 40 分。

但是以上的做法时间复杂度与 \(K\) 有关，这显然是不行的。

记录每个点在规定权值范围后可以取值的区间为 \([l_i,r_i]\)（与原题中的 \(l,r\) 不同），发现权值区间 \([mn,mn+K]\) 移动时，第一问每个点的答案 \(a_i= r_i-l_i+1\)，第二问每个点的答案 \(b_i=\frac{(l_i+r_i)(r_i-l_i+1)}{2}\) 都不会有太大的变化。其实，在一定的范围内，\(mn\) 变化时，\(a_i\) 可以看成关于 \(mn\) 的一次函数，\(b_i\) 可以看成关于 \(mn\) 的二次函数（可以想象一下一个固定的区间和一个移动的区间的交的变化情况），观察 dp 式子发现第一问答案可以看成一个关于 \(mn\) 的 \(n+1\) 次多项式，第二问可以看成一个 \(n+2\) 次多项式，第一问第二问答案的前缀和也可以看成 \(n+1\) 次多项式和 \(n+2\) 次多项式。

所以我们可以用 dp 求出前缀和的多项式，然后这题就做完了。 似乎是可以的但我不会。其实我们只是要计算这个多项式的一个点值，而我们可以 dp 求出若干个点值，所以想到插值。

然后就真的做完了。对于每个点我们算出所有的断点，这些断点把整个值域分成了若干段，段数 \(O(n)\) 级别。对于每一段内，第一问第二问答案的前缀和都是一个确定的多项式，我们需要 dp 求出至多 \(n+1\) 个点值，然后拉格朗日插值就行了。（这里的 dp 似乎是可以 \(O(n^2)\) 的？如果常数优秀是不是 \(200\) 能过 \(O(n^4)\) 啊）

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Day2

概况

\(25+0+12=37\)，这是真的什么都不会啊！

一开始的想法是把每个数分解，然后根据是否含质数因子表示成一个二进制数，最后的答案可以 \(\operatorname{OR}\) 卷积算，结合前面的无脑暴力能拿 40。

众所周知 30 以内有 10 个质数，所以二进制的位数枚举到 10，而我程序里面根据平时的习惯写了枚举到 \(n\)，谁知道第二个《大》样例的 \(n\) 正好等于 10 呢？于是我过了第二个样例之后就没管它，愉快的 -15，沦为暴力分。

T2 一眼没思路，不会，就放弃了。

T3 一眼只会暴力，然后也就只会暴力了。

后面的时间一直在想 T1 的那种做法能不能优化，时间都耗完了也没想到换一种方式，想到容斥了但是并没有想下去。悲。

所以我是废物。

看了 22 年，JS 女生进队的最低是 173 分。

总结一下两天一共挂分 \(4+15=19\) 分，废。

补题

说实话不太想订正。

T1-P8292

看了题解之后才发现有很多状态完全没有用，应为每个数不可能同时有两个或以上 \(> \sqrt{2000}\) 的质因数。

考虑根号分治，对于大质数和小质数分开算。把数分为不含大质数的和含哪一个大质数的几类，然后 \(OR\) 卷积卷起来就行了。

也可以用容斥做，强制一些数不满足，对于含大质数的分开算。

T2 T3 是真的不想没时间订正了。