[基础数论]模的逆

前言

在学习本节内容前，请确保已完成了同余方程的学习。

模的逆

引入

很多题目都会要求我们对答案取模。

如果运算中只有加法、乘法当然没问题。

但是如果有除法就完蛋了。

所以我们考虑将除法转换成乘法，

即对于 \(a / b\) ，我们要找到一个数 \(x\) 使得 \(ax\) 在模 \(m\) 意义下， \(x\) 等同于 \(\frac{1}{b}\) ，我们把 \(x\) 写作 \(b^{-1}\) 。

定义

• 给定整数 \(a\) ，且满足 \((a,m)=1\) ，称 \(ax \equiv 1 \pmod m\) 的一个解为 \(a\) 模 \(m\) 的逆。

注： \(x\) 既是 \(a^{-1}\) ，则满足 \(ax \equiv 1 \pmod m\).

扩欧求逆

在同余方程的学习中，我们清楚同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod m\) 等价于 \(ax+my = 1\) .

运用上不定方程的知识求解即可。

费马小定理求逆

• 设 \(p\) 是一个质数， \(a\) 是一个正整数且 \(p \nmid a\) ，则 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)。

我们将等式两边同除一个 \(a\) ，得到 \(a^{p-2} \equiv a^{-1} \pmod p\).

我们就得到： \(a^{p-2}\) 就是 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的逆元。

一般用快速幂去求即可。

注：用费马小定理求逆，必须满足前提条件。

费马小定理证明：

现考虑 \(p-1\) 个整数： \(a,2a,3a,…,(p-1)a\).

因为 \(p\) 为质数，且 \(p \nmid a\) ，这 \(p-1\) 个整数都不能被 \(p\) 整除。

然后我们考虑反证这些数模 \(p\) 不同余。

设 \(ja \equiv ka \pmod p\) ，其中 \(1 \le j < k \le p-1\) .

根据不定方程笔记的定理5推论，由于 \((a,p)=1\) ，得到 \(j \equiv k \pmod p\).

因为 \(p\) 是质数， \(j,k\) 又满足 \(1 \le j < k \le p-1\) ，显然不成立。

故得证。

综上，我们可以得到 \(a,2a,…,(p-1)a\) 满足模 \(p\) 有 \(1,2,…,p-1\).

我们将其全部乘起来，得到： \(a * 2a * 3a * … * (p-1)a \equiv 1 * 2 * 3 * … * (p-1) \pmod p\) .

推得：\(a^{p-1}*(p-1)! \equiv (p-1)! \pmod p\) .

再一次根据不定方程笔记的定理5推论，因为 \(((p-1)!,p)=1\) ，得到 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\).

证毕。

线性递推求逆

• 在满足 \(p\) 是质数，\(n < p\) 时，线性递推求 \(1\) 至 \(n\) 在模 \(p\) 意义下的逆元。

• \(1^{-1} = 1\) ，\(i^{-1} = (p - p/i) (p \% i)^{-1} \pmod p\)

证明：

由带余除法得： \(p = ki + r\) ，其中 \(0 \le r < i\) ， 故 \(ki + r \equiv 0 \pmod p\).

两边同乘 \(i^{-1}r^{-1}\) 得到： \(kr^{-1} + i^{-1} \equiv 0 \pmod p\).

移项得： \(i^{-1} \equiv -kr^{-1} \pmod p\) .

即： \(i^{-1} \equiv -(p/i)r^{-1} \pmod p\).

如果要避免负数，因为 \(pr^{-1} \equiv 0 \pmod p\).

所以 \(pr^{-1} + (-p/i)r^{-1} \equiv (-p/i)r^{-1} \pmod p\).

即： \((p-p/i)r^{-1} \equiv (-p/i)r^{-1} \pmod p\).

代回原式即为 \(i^{-1} \equiv (p-p/i)r^{-1} \pmod p\).

即 \(i^{-1} \equiv (p - p/i)(p \% i)^{-1}\).

证毕。