离散傅里叶级数的最高频率和频率分辨率

离散傅里叶级数公式：

正变换：\[{\rm{X(k) = }}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n){e^{ - j\frac{{2\pi }}{N}nk}}} \]

逆变换：\[{\rm{x(n) = }}\frac{1}{N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X(k){e^{j\frac{{2\pi }}{N}nk}}} \]

可以发现，离散傅里叶级数公式跟采样时间没有关系，这样当离散时域序列包含时间信息时，在频率域就显示不出计算得出的到底是多大的频率。所以无法得知傅里叶级数运算得到的频率N个数值代表的是什么频率值。可以对离散傅里叶级数作一下改进。

从离散傅里叶级数的逆变换公式中，我们可以看出相当于是幅值为X(k)的一系列正弦信号还原了原时域信号。X(k)所对应的频率可由下面分析得出。每跨度一个时域采样点，时域上经历的时间是T，而正弦信号转动的角度是\[\frac{{2\pi }}{N}k\]

那么可得出正弦信号的角频率是\[\frac{{2\pi k}}{{NT}}\]

因为k的取值范围是0到N-1，所以能够取到的最大频率就是2*pi*(N-1)/(N*T)吗？答案是不对。我们可以通过计算发现，第i个频率和第（N-i）个频率是一样的，所以实际我们能测到的最大频率如下，如果N为偶数，则最大频率是

\[\frac{{2\pi \times \frac{{\rm{N}}}{2}}}{{{\rm{NT}}}}{\rm{ = }}\frac{\pi }{{\rm{T}}}\]，如果N为奇数，则最大频率是\[\frac{{2\pi \times \frac{{{\rm{N - 1}}}}{2}}}{{{\rm{NT}}}}{\rm{ = }}\frac{\pi }{{\rm{T}}} \times \frac{{{\rm{N - 1}}}}{{\rm{N}}}\]

可以发现，最大检测频率跟采样周期T有关，这跟事实相符，因为采样间隔越短，能够分辨的频率就越高。这跟香农采样定理是吻合的，香农采样定理：为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。也就是当我们以周期T采样时，我们能分辨的最高频率只有采样频率的1/2。

接下来我们再看一下频率分辨率，可以从不同正弦信号的角频率间隔得出，为\[\frac{{2\pi }}{{{\rm{NT}}}}\]，我们可以得出一个结论，频率分辨率只和NT有关，N为采样个数，T为采样点间时间间隔，而NT表示的是采样的总时间，也就是说频率分辨率跟采样的总时间有关，采样时间越长，频率分辨率越高。

总结一下，影响最大频率的是采样时间间隔，影响频率分辨率的是采样总时间。

我们再来看一下离散傅里叶变换，最大频率也是pi/T，频率分辨率为无穷小，因为NT为无穷大。