$AT2663$ $Namori$ $Grundy$

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简化题意：

题意：有一个弱联通的有向图，含有\(𝑛\)个结点和\(𝑛\)条边。试问是否存在方案，赋给每个结点一个自然数权值\(𝑣𝑎𝑙_𝑖\)，满足对于所有结点\(𝑢\)，\(𝑣𝑎𝑙_𝑢=mex\{𝑣𝑎𝑙_𝑣|(𝑢,𝑣)\in 𝐸\}\)。一个集合的\(mex\)是没有在这个集合中出现的最小自然数。

显然是个基环树，先考虑在树上的情况。

对于一棵树，完全可以将其叶子的值赋为\(0\)，然后再顺次向上做即可，一定存在这样的方案。

在基环树上，最后会化为一个环，每个点有权值，所以我们只要考虑环上的不满足情况即可。

考虑两个在环上相邻的节点\(𝑢\rightarrow 𝑣\)，设它们的\(val_u\)和\(val_v\)

• \(val_𝑢>val_v\)，那么不需要修改权值。

• \(val_𝑢=val_𝑣\)，那么把\(val_u\)变成\(val_u+1\)

• \(val_u<val_𝑣\)，那么不需要修改权值。

综上，当且仅当环上点权相同且点数为奇数时不存在方案（因为\(+1\)时会死循环）

值得注意的是，对于一个点要先跑完所有子树再将子节点权值加入桶中，计算\(mex\)。不然会在某个子树中出现其他子树的答案。。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
    int f=1,w=0;char x=0;
    while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
    while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
    return w*f;
}
const int N=200010;
const int INF=1e18;
int num_edge,n,Cnt;
int Cir[N],Vis[N],Val[N];
int head[N<<1],fa[N],Jud[N];
struct Edge{int next,to;} edge[N<<1];
inline void Add(int from,int to)
{
	edge[++num_edge].next=head[from];
	edge[num_edge].to=to;
	head[from]=num_edge;
}
inline void Dfs(int pos)
{
	for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
		if(!Cir[edge[i].to]) Dfs(edge[i].to);
	for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
		if(!Cir[edge[i].to]) Jud[Val[edge[i].to]]=1;
	for(;Jud[Val[pos]];Val[pos]++);
	for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
		if(!Cir[edge[i].to]) Jud[Val[edge[i].to]]=0;
}
main(){
	int pos=1;n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=read(),Add(fa[i],i);
	for(;!Vis[pos];pos=fa[pos]) Vis[pos]=1;
	for(;!Cir[pos];pos=fa[pos]) Cir[pos]=1;
	int Max=-1,Min=INF;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(Cir[i]) Cnt++,Dfs(i),Max=max(Max,Val[i]),Min=min(Min,Val[i]);
	if(Max==Min&&Cnt&1) puts("IMPOSSIBLE");
	else puts("POSSIBLE");
}