拓展欧几里得

在了解拓展欧几里得时，建议大家先去看一眼欧几里得算法（也叫辗转相除法）

过程大概如下图所示：

那么，我们因此也可以给出一段代码：

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

为什么成立这一块以后会来填坑的/qq

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那么，什么是拓展欧几里得呢？

拓展欧几里得是一种算法，在不断的辗转相除中得到不定方程

\(ax+by=c\) 的一组解；

我们借着上面的那个图来说明一下：

我们看最后一个式子：\(21=6×3+3\) 这里，我们也可以写成：\(3=6×(-3)+21\)

也就是说，\(3\) 可以被表示为 \(6\) 和 \(21\) 的线性组合。

那么我们接着看，\(6\) 也可以成 \(21\) 和 \(27\) 的线性组合，因此，有：

\[3=6×(-3)+21=(27-21)×(-3)+21=27×(-3)+21×4 \]

那么一直往下推，我们就可以推出来：\(3\) 就是 \(75\) 和 \(48\) 的线性组合；

那么，如果 \(c\) 是其他的数，能不能找到解呢？

其实 \(c\) 必须要是 \(\gcd(a,b)\) 的倍数，因此，尝试等式两边同时初以 \(\gcd(a,b)\);

\[\frac{a}{\gcd(a,b)}x+\frac{b}{\gcd(a,b)}y=\frac{c}{\gcd(a,b)} \]

因为等式的左侧肯定是一个整数，为了使等式成立，等式的右侧也必然是一个整数

那么我们同样也来看一看这个的具体过程

这里呢，通过求 \(bx_0+(a \mod b)y_0=c\) 的解，就可以得出来 \(ax+by=c\) 的解；

对比 \(x\) 的系数和 \(y\) 的系数，就是

\(\begin{cases}x=y0\\y=x0-\left [ a /b \right ]y0 \end{cases}\)

这玩意其实就跟辗转相除差不多一回事，当 \(b=0\) 的时候结束递归，

最后令 \(x=1,y=0\)

int gcd(int a, int b,int &x,int &y) {
      if (b == 0) {
      x = 1, y = 0;
      return a;
      }
      int ans = gcd(b, a % b, x, y);
      int temp = x;
      x = y;
      y = temp - a / b * y;
      return ans;
}

后续的证明正在施工中。