最陡下降法（Bender版）

最陡下降法可以用来寻求形式如下的积分当\(x→+∞\)时的渐近行为

\[I(x)=\int_{c} h(t) e^{x \rho(t)} d t \]

其中C为t复平面内的一条积分路径，而且 \(h（t）\)和 \(\rho（t）\)均为t 的解析函数。
本方法的思路在于∶利用被积函数的解析性来证明将路径C变化为一条新的路径C'在其上\(\rho（t）\)的虚部为常数是正确的.只要做到这点，就可以采用Laplace 方法估算x →+∞时\(I（x）\)的渐近行为。
为说明其中的道理，请注意在路径 C′上我们可以写出

\[\rho(t)=\Phi(t)+i \psi(t) \]

（其中\(\psi\)是一个常实数而\(\Phi(t)\) 是一个实函数）。
因此，\(I(x)\)取下述形式

\[I(x)=e^{i x \psi} \int_{C^{\prime}} h(t) e^{x \Phi(t)} d t\tag{3} \]

尽管t为复数，但是由于\(\Phi(t)\)是实函数，故当 \(x→＋\infty\) 时式(3)仍可以用 Laplace 方法来处理。
我们将路径C变化为C′从而使其上的 \(Imh（t）\)为一个常数的动机是要消除\(x\)充分大时被积函数的快速振荡。 当然，人们也可以将C变为另一种路径，使得 \(Reh（t）\)在其上为常数，然后再利用驻相法。但是，我们已经看到∶由于广义 Laplace 积分的完全渐近展开是由 \(Reh（t）\)在路径上取极大值那点附近一个任意小区域中的被积函数来确定的，因而 Laplace 方法是一种优于驻相法的逼近方案。与此相反，在典型的情况下，广义 Fourier 积分的完全渐近展开取决于被积函数沿整个路径的性态。所以，广义Laplace 积分的完全渐近展开通常要比广义 Fourier 积分更容易求得。

关于复平面内最陡下降路径的正式讨论

在前面的三个预备性例题中，我们已经表明了改变t复平面内的积分路径能够使积分的渐近计算变得容易一些。现在可以对最陡下降（等相位）路径进行更一般性的讨论了。
我们首先来回忆一下初等微积分中梯度的作用。若 \(f（u，v）\)是可微分的双变量函数，\(f\)的梯度则是矢量

\[\bigtriangledown f=(\frac{\partial f}{\partial u} ,\frac{\partial f}{\partial v} ) \]

这个矢量指向点\(（u，v）\)处\(f\)变化最快的方向。 在单位矢量 \(\vec{n}\)方向上的方向导数 \(\frac {df} {ds}\) 可以写作

\[\frac{df}{ds}= \vec{n}·\bigtriangledown f \]

（这里是采用梯度来表示的）。 此方向导数是f在 n方向上的变 化速率。 因此，最大方向导数的方向是

\[n=\bigtriangledown f/ \left | \bigtriangledown f \right | \]

，其数值为\(|\bigtriangledown f|\)。在 f（u，s）的二维等值线图上，矢量\(\bigtriangledown f\)垂直于\(f\)的等值线（等位线）。请注意，在等位线的切线方向上方向导数为零。
现在我们来正式证明∶等相位线也是最陡路径。 令\(\rho(t)=\Phi(t)+i \psi(t)\)是复变量\(t=u＋iv\)的解析函数。此外，我们暂且限定只考虑t复平面内 \(p'（t）≠0\)的区域。
我们定义 \(e^{x\rho(t)}\)(其中 x>0）的一条等相位路径是 \(\psi(t)\)在其上为常数的路径。最陡路径定义为其切线平行\(\bigtriangledown|e^{x\rho(t)}|=e^{x \phi(t)}\)的路径，而后者是平行于\(\bigtriangledown \phi\) 的。这就是说，最陡路径是\(e^{x\rho(t)}\)的数值在其上随t变化得最快的一条路径。
现在我们要说明如果 \(\rho（t）\)是解析的， 那么等相位路径就是最陡路径。若 \(\rho（t）\)为解析，则它满足 Cauchy-Riemann 方程

\[\frac{\partial \phi}{\partial u} =\frac{\partial \psi }{\partial v},\frac{\partial \phi}{\partial v} =-\frac{\partial \psi }{\partial u} \]

因此有\(\frac{\partial \phi}{\partial u}\frac{\partial \psi }{\partial u}+\frac{\partial \phi}{\partial v}\frac{\partial \psi }{\partial v} =0\)
不过，此方程可以写成矢量形式\(\bigtriangledown\phi\cdot \bigtriangledown\psi\),因此\(\bigtriangledown\psi\)垂直于\(\bigtriangledown\phi\),而且在\(\bigtriangledown\phi\)方向上的导数满足\(\frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} s}=0\)。这样，\(\psi\)在切线平行于\(\bigtriangledown\phi\)的路径上取常数。这也就表明了等相位路径也就是最陡路径。
还有一种比较巧妙的办法可以说明等相位路径就是最陡路径。众所周知，如果\(\rho'(t)\ne 0\),那么解析函数\(\rho(t)\)就是从t复平面（u，v）到\(\rho\)复平面\((\phi,\psi)\)的保角映射。因此，由于等u线垂直于等v线，等\(\phi\)线就垂直于等\(\psi\)线。但是等\(\phi\)线也垂直于\(\phi\)的最陡曲线。这样就再次证明了最陡曲线就是等相位路径。
在上述两个证明中，必须假定\(\rho'(t)\ne0\)。这个条件在第二个证明中之所以需要时因为在\(\rho'(t)=0\)那点处的映射不是保角的。

鞍点

当式（1）中的积分路径变为等相位路径时，\(\phi(t)\)沿着这条路径的局部极大值附近处的被积函数的性态便决定了积分的渐近行为。\(\phi(t)\)的这些局部极大值可能出现在等相位路径的端点处，或者出现在等相位路径的某个中间点上。如果\(\phi(t)\)有中间极大值，那么沿着等相位路径上的方向导数\(\frac{d\phi}{ds}=|\triangledown\phi|\)就变为零。Cauchy-Riemann方程意味着\(\triangledown \phi=\triangledown\psi=0\),于是在等相位路径上\(\phi\)的中间极大值处\(\rho'(t)=0\)。
\(\rho'(t)=0\)的点成为鞍点，鞍点的特殊之处在于两条不同的最陡曲线只能在这种点上相交。当\(\rho'(t_0)\ne0\)时，只有一条最陡曲线通过t而且它的切线平行于\(\triangledown\phi\)。在\(\triangledown\phi\)的方向上，\(|e^{x\rho}|\)是增加的，因此该曲线的这一部分是最陡上升曲线；在\(-\triangledown\phi\)的方向上，\(|e^{x\rho}|\)是下降的，因此该曲线的这一部分是最陡下降曲线。另一方面，当\(\rho(t_0)=0\)时，有两条或者更多的最陡上升曲线以及最陡下降曲线从点\(t_0\)出发。
为探讨从一个鞍点出发的最陡曲线的性质，让我们来研究一下t复平面内在\(t_0\)附近的那个区域。

例4 \(e^{xt^2}\)在鞍点t=0附近的最陡曲线。

这里\(\rho(t)=t^2\).可以看到，在t=0处\(\rho'(t)=2t=0\),证实这0是一个鞍点.
我们做变换\(t=u+iv\)并给定\(\rho(t)\)的实部和虚部：

\[\rho(t)=u^2-v^2+2iuv,\\\phi(t)=u^2-v^2,\\\psi=2uv \]

由于\(\rho(0)=0\),通过t=0的等相位路径必定处处满足\(\psi(t)=0\).
等相位路径u=0（虚轴）和v=0（实轴）在鞍点t=0处相交。
从t=0出发的曲线有四条：(a)u=0且v为正；(b)u=0且v为负；(c)v=0且u为正；(d)v=0且u为负。由于除了在t=0点以外均有\(\rho(t)\ne0\)，因此所以这四条曲线都是最陡曲线。
在曲线(a)(b)上，\(\phi(t)=-v^2\)，所以从t=0向外时\(\phi\)是下降的，这两条曲线是最陡下降曲线。
在曲线(c)(d)上，\(\phi(t)=u^2\)，因此从t=0向外时\(\phi\)是增加的。这两条曲线则是最陡上升曲线。
图中画出了从t=0向外发散的最陡上升、下降曲线以及\(\phi\)的等位线。

例5 \(e^{ixcosht}\)在鞍点t=0附近的最陡曲线。

这里\(\rho(t)=icosht\)，于是\(\rho'(t)=i\sinh(t)\)在t=0处为零。如果做变换\(t=u+iv\)并利用恒等式

\[\cosh(u+iv)=\cosh(u)\cos(v)+i\sinh(u)sin(v) \]

我们就得到\(\rho(t)\)的实部和虚部：\(\phi(t)=-sinhusinv,\psi(t)coshucosv\)
由于\(\rho(0)=i\)，通过t=0的等相位路径必定满足\(\phi(t)=Im\rho(t)=1\)。因此,通过t=0的等相位路径由下式给定

\[\cosh(u)\cos(v)=1 \]

其他的等相位路径（最陡下降、上升曲线）则由\(\cosh(u)\cos(v)=c\)(c为常数)给定。再有图中，画出了不同c值时的等相位路径。可以看到除了在鞍点之外，最陡曲线绝不相交。

例6 \(e^{x(\sinh(t)-t)}\)在鞍点t=0附近的最陡曲线。

这里\(\rho(t)=\sinh(t)-t\)，于是\(\rho'(t)=\cosh(t)-1\)在t=0处为零。注意\(\rho''(t)=\sinh(t)\)在t=0处亦为零且\(\rho\)在t=0处的最低阶非零导数为\(\rho'''(t)\)。我们称这样的鞍点为三阶鞍点。在t=0处六条等相位路径相遇。为找到这些等相位路径，我们做变换\(t=u+iv\)并给定\(\rho\)的实部和虚部：
\(\rho=\phi+i\psi=(\sinh(u)\cos(v)-u)+i(\cosh(u)\sin(v)-v)\)
但是\(\rho(0)=0\)。因此通过t=0的等相位路径满足\(\cosh(u)\sin(v)-v=0\).此方程的解是v=0（u轴）和\(u=arccosh(\frac{v}{\sin(v)})\)

鞍点是n阶的，就有2n条最速曲线交于鞍点

具有鞍点的积分的最陡下降逼近

我们已经看到，将积分路径变为等相位路径就能利用Laplace 方法来处理形如式（6.6.1）的积分。当等相位路径通过鞍点时情况将会如何呢?我们在下面的例题中讨论这种情况。

例8 当\(x\rightarrow+∞\)时，\(J_0(x)\)的渐近展开。

\(J_0(x）\)的标准积分表达式

\[J_0(x)=\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos (x \cos \theta) d \theta / \pi \]

通过变换\(t=i\theta\)可将此式转换为

\[J_{0}(x)=\operatorname{Re} \frac{1}{i \pi} \int_{-i \pi / 2}^{i_{\pi} / 2} d t e^{i x \operatorname{coxh} t} \]