[bzoj 1025][SCOI2009]游戏(DP)

题目:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1025

分析:首先这个问题等价于A1+A2+……Ak=n,求lcm(A1,A2,……,Ak)的种数

考虑一个Lcm=p1^a1 * p2^a2 * …… pk^ak 是否可能出现

WJMZBMR提出,能出现的充要条件是p1^a1+p2^a2+……+pk^ak<=n

证明:

先证必要性:

  ∵p1^a1 p2^a2 …… pk^ak 这k个数的最小公倍数正好是lcm 且 k<n (n以内的质数的个数肯定比n小啊)

  ∴可以把n分解成n=p1^a1 + p2^a2 …… +pk^ak + 1 + ……+1 (n-k个1),1对最小公倍数的大小lcm无影响

  ∴就存在这样的分解方案使得lcm能出现

再证充分性:

  假设p1^a1+p2^a2+……+pk^ak>n

  看个例子:27=12+8+6+1=2*2*3+2*2*2+2*3+1

  他们的lcm=24=1^1 * 2^3 * 3^1

  这个lcm如何求出来的呢?我们看看2的指数如何定:12分解质因数有2个2,8分解质因数有3个2,6分解质因数有1个2,所以lcm中2的指数就是max{2,3,1}=3,  以3为底数的指数也是如此求法。也就是说lcm里的每个质数对应的指数是对n分解的每一项中该质数个数的最大值!!!!

  那么也就说对n的拆分里面,一定至少有一项含因子p1^a1,即对n的拆分里,一定至少有一项是p1^a1的倍数,同理也至少有一项分别是p2^a2 p3^a3 ……的  倍数,不妨设是b1*p1^a1 b2*p2^a2 ……

  那么现在p1^a1+p2^a2+……+pk^ak>n

  b1*p1^a1+b2*p2^a2+……+bk*pk^ak>n

  注意bi*pi^ai是n的拆分中的一项,所以b1*p1^a1+b2*p2^a2+……+bk*pk^ak=n

  很明显上面两个式子冲突了

  于是假设不成立,一定有p1^a1+p2^a2+……+pk^ak<=n

综上所述,原问题等价于求满足p1^a1 + p2^a2 +…… pk^ak<=n的数列(a1,a2,...,ak)一共有多少个

这显然就是背包问题了……GG

这种神题只能欣赏了Orz……

posted @ 2014-08-19 23:26  Chellyutaha  阅读(109)  评论(0编辑  收藏