树链剖分

Definition

• \(siz\) ： 代表以 \(i\) 为根的子树大小
• 重儿子：一个 \(u\) 节点里所有儿子之中的 \(siz\) 最大的那一个(多个任意选)
• 轻儿子：除去重儿子之外的子节点
• 重边：连接一个节点和他的重儿子的边
• 重链：把重边连在一起的变成一条路径 （全是由重边组成）
• 轻链：剩下的部分 （是一个一个的点）

重点

• 严格： 搜索时，优先搜索重儿子
• 性质：
  • ① 每条重链的 \(dfn\) 连续 (因为优先走重儿子，所以重链上的点，是一路走下来的)
  • ② 子树的 \(dfn\) 连续 （因为会从一个子树内的节点都递归完，在回出来）
• 子树 \(u\) 所在的 \(dfn\) 范围 ： \([dfn_u,dfn_u+siz_u-1]\)

U587522 树链剖分-基础知识点

给定一棵以 \(1\) 为根的有根树，现在需要你按照重链剖分的基础知识点，给出每个节点的基本信息，具体如下：

• \(siz[i]\) 表示节点 \(i\) 为根的子树的大小。
• \(son[i]\) 表示节点 \(i\) 所在的重儿子，不存在的话表示为 \(0\) 。
• \(dep[i]\) 表示节点 \(i\) 的深度，其中根节点 \(1\) 的深度是 \(1\) 。
• \(fa[i]\) 表示节点 \(i\) 的父亲节点编号。
• \(dfn[i]\) 表示节点 \(i\) 的 \(dfs\) 序编号，我们规定，根节点 \(1\) 的 \(dfn\) 编号是 \(1\) 。其他点依此类推。此处可能会有多个答案，请按照原顺序使用 \(vector\) 的方式存储。
• \(top[i]\) 表示重链剖分后，该点所处链的链头节点。且 \(top\) 实际上是一个轻儿子（重儿子可以在往上找，串重链）
• \(seg[i]\) 表示重链剖分后，\(dfn\) 为 \(i\) 的节点
  对应的初始编号。

剖分

步骤 ： 两次 \(dfs\)

• 1. 求出 \(siz\) ， \(dep\) ， \(son\)，\(fa\)

  都好求，正常遍历，\(son\) 是所有儿子 \(siz\) 最大的， 打擂台

• 2. 优先跑重链， 标记 \(dfn\) ，求出 \(top\)， \(seg\)

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求法

• 1. 如果没有重儿子，直接跳过（叶子）
• 2. 遍历子节点
• 3. 走的时候，记录一个 \(t\)， 表示当前重链顶端，这样直接得到 \(top\)， 然后走重儿子的时候， 递归下去的 \(t\)，不变（还是处于同一条重链），

其他子节点的重链顶端， 就是 它自己

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

倍增法求是让两个节点一起跳2的幂
用树链剖分是一个一个重链的跳

• 当两个点不处于同一个重链时 (\(top_u \ne top_v\))
  • 此时让两个节点所处重链顶端深度更小的那个往上跳 (\(dep_{top_ {u}} \ge\))
  • 需要跳的节点跳到所处重链的顶端在往上跳一格(\(u = fa_{top_u}\))

此时两个节点已经处于同一个重链上
而深度更小的就是 \(lca\)
时间复杂度 ： 每次停跳了说明遇到了新的重链， 子树的大小倍增， 最多 \(log_n\) 次， 常数非常小

P2590 [ZJOI2008] 树的统计

可以用 跳 \(lca\) 的办法， 把两个节点之间的路径转换为一条一条的重链
由于 同一重链\(dfn\)连续， 所以可以按照每一个节点的 \(dfn\) 建立线段树
用线段树维护最大值

跳重链剩下的一小截，单独处理

P3384 【模板】重链剖分 / 树链剖分

路径的处理和上题一样
子树 ：

• 因为子树的 \(dfn\) 是连续的，且子树 \(u\) 所在的 \(dfn\) 范围 ： \([dfn_u,dfn_u+siz_u-1]\)
• 同样可以使用线段树！

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关于具体是如何根据\(top\) 跳转

• 首先可以根据 \(top\) 的异同判断两个节点是否处于同一个重链上
• 然后每一次具体的跳一条重链， 是先让一个节点跳到它所处的重链顶端 \(top_u\) ， 在往上跳一格 \(fa_{top_u}\)