状压dp1

集合

• 全集:所有数字全选的情况，U表示，U=(1<<m)-1
• 补集:一般成为A的补集=U-A，表示为U^A
• 交集:两个集合共同选择的部分， A&B
• 并集:两个集合所有的选择，A|B
• 空集:一定是左右集合的子集
• 子集:A集合表示一种选择的情况，子集叫做B集合，A集合的子集
• 真子集:不包含A集合本身
  A->有S个长->子集数量\(2^S\)

P3092 [USACO13NOV] No Change G & 子集类型状压dp重要内容

总结

1.状态定义
用二进制数表示集合状态，例如 dp[i] 表示状态 i下的最优解。

例如：题目 P3092 中，dp[i] 表示使用硬币集合 i 时能买到的最远物品位置

2. 子集枚举与转移
   通过 j=(j-1)&i 循环枚举子集可将复杂度优化到\(O(3^n)\) 避免暴力枚举所有可能的子集

在 P3092 中，每次转移时枚举当前状态 i 的子集 j，并计算添加一个硬币后的扩展范围

3.预处理与优化

• 前缀和+二分:对于需要快速计算连续区间和的问题，预处理前缀和并用二分查找确定硬币能覆盖的最远位置，将复杂度从
• 位运算加速

4. 状态转移方程设定
   根据问题特性设计转移方程。例如，P3092 的转移方程为：
   \(dp[i]^1 = max{二分查找(dp[i / j]+1,硬币j的面值)}\)
   \([j{\color{Red} \in }i ]^1\)

5.计算答案
遍历所有状态 i，若 dp[i] = N，则剩余金额为总硬币面值和减去已用硬币面值和，取最大值即可

P5911 [POI 2004] PRZ