概率期望dp

\(\text{P4316}\)

要求出起点走到终点的路径长度期望
由于正向考虑时，从每一个点离开，都会有多种变可选，并且影响后续转移，所以考虑反向考虑
设 \(f_i\) 表示从 \(i\) 走到终点的路径期望
建反边，反向拓扑
然后从 \(u\) 转移时，枚举 \(u\) 的边，然后更新 \(f_v += \frac{(f_u + w)}{siz_v}\)
最终答案\(f_1\)

\(\text{P1850}\)

设\(f_{i,j,0/1}\) 表示考虑了前 \(i\) 节课，用了 \(j\) 次换课机会，在当前课是否换和不换的路径长度最小期望
设\(dis_{i,j}\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 的距离，第 \(i\) 节课交换成功的概率 \(p_i\)

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于是就要分四种情况讨论

• 当前课不换课，且上节课不换课
  \(f_{i,j,0} = f_{i-1,j,0}+dis_{c_{i-1},c_i}\)
• 当前课不换课，且上次课换课
  由于上一次课换课是否成功决定了从上节课的位置到这节课的位置的距离， 所以要分类讨论
  \(f_{i,j,0} = f_{i-1,j,1} +dis_{d_{i-1},c_i}p_{i-1} + dis_{c_{i-1},c_i}(1-p_{i-1})\)
• 当前课交换且上一次课不交换
• 当前课交换且上一次课交换
  后两种情况类似前面的推导，大力分讨即可（每一个交换都要考虑它是否成功）

\(\text{P1365}\)

\(f_i\) 表示当前考虑到第 \(i\) 个字符的期望得分
\(len_i\) 表示当前考虑到第 \(i\) 个字符连续字符o个数的期望

• 当前字符是 o
  好理解，不解释
  \(f_i = f_{i-1} +2\;len_{i-1} +1\)
  \(len_i = len_{i-1} + 1\)
• 当前字符是 x
  \(f_i = f_{i-1}\)
  \(len_i = len_{i-1}\)
• ?
  其实就是把 o和 x 的转移和在一起然后乘以 \(\frac{1}{2}\)
  所以 \(f_i = f_{i-1} +len_{i-1} + \frac{1}{2}\)
  \(len_i\) = \(\frac{len_{i-1} + 1}{2}\)