网络流

\(\text{P2766}\)

拆点容易

\(\text{P4001}\)

转对偶图，跑最短路，可以找题解，关于对偶图为什么可以找到答案
我解释怎么建图：
n行m列，那么就有左下的 \(S\) 点 和 右上 \(T\) 点，以及 \((n-1) \times (m-1)\) 个正方形块，对于 \((i,j)\) 正方块，他被划分为 \(2j,2j-1\) 两个三角形，对应左下三角形，和右上三角形
那么这样对每一个区块编号后，就好建图了
对于横边，他就是上一行的左下三角形，和这一行的右下三角形连边，表示切断这条边，如果这条横边在第一行或者最后一行，就把这个三角形， 和 \(S , T\) 连边
竖边，斜边同理

\(\text{P4714}\)

关于网络流上的最小割：

• 割指把图的点集分成两个集合，S和T分属两个集合(\(S\in A, T \in B\))，这个图上由 \(A\longrightarrow B\) 的边就是这个图的割边
• 这些边的和的最小值，就是最小割
• 形象的说就是把图分成两半，使不存在 \(S\) 到 \(T\) 的路径

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建图方法

• \(S\) 向用户， 边权：该用户的收益
• 该用户向他使用的两个中转站， 边权： \(inf\)
• 该中转站向\(T\)，边权：成本

答案：所有用户总收益\(-\)最小割

原因：

• 首先对于这样的用户 \(i\),最小割肯定不会去割\(inf\)的边，不然就不是最小的割
• 最小割肯定会割\((S,用户)\) 的边，不然就得把 \((中转站A,T)和中转站（B, T）\)割掉，因为只有这样，才会使得没有\(S\) 到 \(T\) 的路径
• 这个最小割表示他在总收益的基础上放弃了哪些收益
• 割掉了\((S,用户)\)表示决定不满足这个用户的要求，放弃了这个用户的收益
• 割掉\((用户,中转站A,B)\) 表示决定满足这个用户的要求，那么就要付出建立这两个中转站的代价
• 因为是最小割，他会让放弃的利益尽可能小，也就是总收益最大

\(\text{P3227}\)

先说建图方法

• \(S\longrightarrow (i,j,1), \;\) flow $ = inf$
• \((i,j,k)\longrightarrow (i,j,k+1), \;\) flow $ = v[i][j][k]$
• \((i,j,r)\longrightarrow T, \;\) flow $ = v[i][j][r]$

以上的建图方法，就是在不包含 \(D\) 的限制下的建图
什么意思呢？对于每一个\((i,j)\)我们建了一条\(S\) 到 \(T\) 的路径，那么这条路径上就必然要割掉一条边，那么割哪条边，就表示 \((i,j)\) 这个位置的值是多少，边权就是代价

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但是本题我们还有 \(D\) 的限制

解决方法

• \((i,j,k)\longrightarrow(i\pm1,j,k-d), \;\) flow $ = inf$
• \((i,j,k)\longrightarrow(i,j\pm1,k-d), \;\) flow $ = inf$

也就是往对于 \((i,j)\) 有限制的相邻格子连边，这样连边的话，如果填的值差超过了 \(D\) 那么就可以通过我们连的这条边还存在路径，而我们连的边又不能割所以填的值就不会超过 \(D\)

\(\text{P1361}\)

先说建图方法

• \(S\longrightarrow 物品i, \;\) flow $ = 收益A_i$
• \(物品i \longrightarrow T, \;\) flow $ = 收益B_i$
• $ S \longrightarrow x, ;$ flow $ = 收益c1_i$
• $ y \longrightarrow T, ;$ flow $ = 收益c2_i$

• $ x \longrightarrow 组合i的每个物品, ;$ flow $ = inf$
• $ 组合i的每个物品 \longrightarrow y, ;$ flow $ = inf$

很好理解，这里求最小割表示放弃哪些收益，所以答案是所有收益减最小割
然后前两条边必然割一条，割的S,就表示物品放到B中，放弃了 \(A_i\)的代价
反过来差不多
然后其他的边可以发现如果没有让一个物品放在A中，那他的所有组合x的收益\(C1_i\) 就会割掉，不然等于白割了这个物品放弃A的收益，必然不优
反过来也是一样