二分图

• 二分图本身是不存在长度为奇数的环 \(\Rightarrow\) 所以我们可以先求出\(G\)的任意一颗\(dfs\)树
  若任意非树边两端的节点深度的奇偶性不同，就不是二分图，否则就是
• 二分图最大匹配
  • 最大匹配的图中，一定不能存在增广路
  • 二分图最小点覆盖 \(=\) 二分图最大匹配
  • 二分图最大独立集 \(+\) 二分图最大匹配 \(=\) 二分图总点数
  • 二分图最小边覆盖 \(=\) 二分图最大独立集
  • 如果当前不存在增光路，那么后续也一定不存在

\(\text{P1525}\)

二分答案\(mid\)，检查\(mid\)，这个答案是否合法

• 边权大于\(mid\)的两个点不能分在一个监狱，所以连一条边
• 最后对这样建出来的图，判断它是不是二分图，也就是能不能分到两个监狱里，属于一条边的两端的人的所属监狱不同

\(\text{P3355}\)

这个相当与是要求二分图最大独立集（能互相攻击的骑士有连边）
因为二分图最大独立集 \(=\) 总点数 \(-\) 最大匹配
那么我们把能够互相攻击的位置连一下（两个位置都不能是障碍），然后用总点数 \(-\) 最大匹配就是答案

\(\text{P3386}\)

模板

\(\text{P1963}\)

首先二分图 原序列下标 \(i\)，要和 \(0\)到\(n-1\)的值匹配，而且必须是完美匹配(排列中每一数恰好出现一次)
发现虽然按照题意 每一个 \(A_i\) 可能与 \(T_{A_i + d_i}\;,T_{A_i - d_i}\;,T_{A_i - n + d_i}\;,T_{A_i + n - d_i}\) 连边
但是 \(A_i + d_i\) 和 \(A_i - d_i\) 肯定只有一个 再 \(1\) 到 \(n\) 的范围内， \(A_i - n + d_i\) ，\(A_i + n - d_i\) 也一样

然后就是解决最小字典序的问题
先给出结论，再模板的基础上改一个，主函数的从 0到\(n-1\) 循环，改为 \(n-1\) 到 \(0\) 循环

证明：1.为什么在左边最多只有两条连边的二分图上找完美匹配，倒着，可以保证字典序最小？

• 第一步：化简图，只剩环

  • 我们先不停找右边度数为\(1\) 的点， 若有要形成完美匹配，与它相连的左部点必须要与它匹配，没有别的选择
  • 确定这样的匹配后，我们就把这两个点，和这两个点的所有边都删掉

  反复这样做，直到右部点，没有度数为\(1\)的点，此时左右剩余的点数相等，即为 \(k\)，每一个右边点的度数都 \(\ge\) 2,总度数是 \(2k\)，因此每个右边点的度数只能是2，这样推论可以发现 每个左边的度数恰好是2

• 在度数为 2 的环里，每个左点恰有两条边。当某个左点要抢走一个右点时，被抢的左点只剩下唯一的一条其它边可以走。于是：

  • 它只能顺着那唯一一条边去占另一个右点；
  • 那个右点原来的左点又被逼着走它的另一条边……
    这种“链式反应”会沿着环一直传递，直到某个右点本来就是空闲的，或者传回起点。

2.为什么在二分图完美匹配中直接倒着匹配不能保证字典序最小？

这与第一问相对的是一般情况，与第一个情况相对，再第一个情况里，当后面的点来抢占其他点的一匹配点时，原来的点只能沿着唯一的另一条边走；而再一般情况下不能保证只有另一条边，所以虽然能保证当前最优，但是因为有后效性，不能保证全局最优

本题目属于情况1，可以直接用匈牙利倒过来匹配做到字典序最小

\(\text{P4055}\)

首先发现，可以把这个图染成两种颜色，能够相到达的两个点，连一条边
结论：

如果起点存在某个最大匹配不包含他，（即该起点不是所有最大匹配的必经点），则后手有必胜策略win，否则先手必胜lose）

原理：假设存在一个最大匹配 \(M\) ，且起点 \(v\) 不在 \(M\) 中，则 \(AA\) 选择 \(v\) 后， \(YY\) 沿着非匹配边走到一个 \(v\) 的相邻点 \(u\)， \(u\) 一定在最大陪陪中 （否则\(u-v\)就是一条增广路）。此时 \(AA\) 只需沿着 \(u\) 的匹配边，走到对应点。这样\(AA\)总是沿着匹配边走， \(YY\)总是沿着非匹配边走，由于最大匹配没有增广路，所以这样走下去， \(YY\) 就动不了
反过来，如果起点不是必经点，那么 \(YY\) 可以一步走到最大匹配上面，然后按照刚刚 \(AA\) 的策略
所以问题转换为找最大匹配必经点好做