球盒

球的状态	箱的状态	是否允许空箱	方案数（公式）
有标号	有标号	允许	\(( n^m )\)
有标号	有标号	不允许	$( n! \cdot S(m, n) $) 或 $( \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} (n-k)^m $)
有标号	无标号	允许	$( \sum_{k=1}^{n} S(m, k) $)
有标号	无标号	不允许	$( S(m, n) $)
无标号	有标号	允许	$( \binom{m+n-1}{n-1} $)
无标号	有标号	不允许	$( \binom{m-1}{n-1} $)
无标号	无标号	允许	$( p_n(m + n) ) 或 ( q(m, n) $)（将 m 分为最多 n 个部分的分拆数）
无标号	无标号	不允许	$( p_n(m) $)（将 m 分为恰好 n 个部分的分拆数）

注：

• $( S(m, n) $) 表示第二类斯特林数，即把 m 个有标号球划分到 n 个非空无标号箱子的方案数。
• $( \binom{n}{k} $) 表示二项式系数。
• $( p_n(m) $) 表示将整数 m 恰好分为 n 个部分的分拆数（各部分无序且为正整数）。
• $( q(m, n) $) 表示将整数 m 分为最多 n 个部分的分拆数，有 $( q(m, n) = p_n(m + n) $)。