进制转换算法

进制转换算法（Convert）

　　在数字后面加上不同的字母来表示不同的进位制。B（Binary)表示二进制，O（Octal）表示八进制，D（Decimal）或不加表示十进制，H（Hexadecimal）表示十六进制。例如：(101011)B=(53)O=(43)D=(2B)H

(一) （二、八、十六进制） → （十进制）

二进制 → 十进制

​ 方法：二进制数从低位到高位（即从右往左）计算，第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方，第2位的权值是2的2次方，依次递增下去，把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

　　例：将二进制的(101011)B转换为十进制的步骤如下：

  1. \(第0位\ \ 1 \times 2^0 = 1；\)

  2. \(第1位\ \ 1\ \times 2^1 = 2；\)

  3. \(第2位\ \ 0 \times 2^2 = 0；\)

  4. \(第3位\ \ 1 \times 2^3 = 8；\)

  5. \(第4位 \ \ 0 \times 2^4 = 0；\)

  6. \(第5位\ \ 1 \times 2^5 = 32；\)

  7. 读数，把结果值相加，1+2+0+8+0+32=43，即(101011)B=(43)D。

八进制 → 十进制

　　方法：八进制数从低位到高位（即从右往左）计算，第0位的权值是8的0次方，第1位的权值是8的1次方，第2位的权值是8的2次方，依次递增下去，把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

　　八进制就是逢8进1，八进制数采用 0～7这八数来表达一个数。

　　例：将八进制的(53)O转换为十进制的步骤如下：

  1. \(第0位\ \ 3 \times 8^0 = 3；\)

  2. \(第1位\ \ 5 \times 8^1 = 40；\)

  3. 读数，把结果值相加，3+40=43，即(53)O=(43)D。

十六进制 → 十进制

　　方法：十六进制数从低位到高位（即从右往左）计算，第0位的权值是16的0次方，第1位的权值是16的1次方，第2位的权值是16的2次方，依次递增下去，把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

　　十六进制就是逢16进1，十六进制的16个数为0123456789ABCDEF。

　　例：将十六进制的(2B)H转换为十进制的步骤如下：

  1. \(第0位\ \ B \times 16^0 = 11；\)

  2. \(第0位\ \ 2 \times 16^1 = 32；\)

  3. 读数，把结果值相加，11+32=43，即(2B)H=(43)D。

(二) （十进制） → （二、八、十六进制）

十进制 → 二进制

　　方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。

　　例：将十进制的(43)D转换为二进制的步骤如下：

  1. \(43\div2=21…1\) 将商43除以2，商21余数为1；

  2. \(21\div2=10…1\) 将商21除以2，商10余数为1；

  3. \(10\div2=5…0\) 将商10除以2，商5余数为0；

  4. \(5\div2=2…1\) 将商5除以2，商2余数为1；

  5. \(2\div2=1…0\) 将商2除以2，商1余数为0；

  6. \(1\div2=0…1\) 将商1除以2，商0余数为1；

  7. 读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，101011，即(43)D=(101011)B。

十进制 → 八进制

方法1：除8取余法，即每次将整数部分除以8，余数为该位权上的数，而商继续除以8，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。

　　例：将十进制的(796)D转换为八进制的步骤如下：

  1. \(796\div8=99…4\) 将商796除以8，商99余数为4；

  2. \(99\div8=12…3\) 将商99除以8，商12余数为3；

  3. \(12\div8=1…4\) 将商12除以8，商1余数为4；

  4. \(1\div8=0…1\) 将商1除以8，商0余数为1；

  5. 读数，因为最后一位是经过多次除以8才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，1434，即(796)D=(1434)O。

方法2：使用间接法，先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成八进制；

十进制 → 十六进制

方法1：除16取余法，即每次将整数部分除以16，余数为该位权上的数，而商继续除以16，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。

　　例：将十进制的(796)D转换为十六进制的步骤如下：

  1. \(796\div16=49…12\) 将商796除以16，商49余数为12，对应十六进制的C；

  2. \(49\div16=3…1\) 将商49除以16，商3余数为1；

  3. \(3\div16=0…3\) 将商3除以16，商0余数为3；

  4. 读数，因为最后一位是经过多次除以16才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，31C，即(796)D=(31C)H。

方法2：使用间接法，先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成十六进制；

（二进制） ↔ （八、十六进制）

二进制 → 八进制

　　方法：取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位，接着将这三位二进制按权相加，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足三位。

　　例：将二进制的(11010111.0100111)B转换为八进制的步骤如下：

  1. 小数点前111 = 7；

  2. 010 = 2；

  3. 11补全为011，011 = 3；

  4. 小数点后010 = 2；

  5. 011 = 3；

  6. 1补全为100，100 = 4；

  7. 读数，读数从高位到低位，即(11010111.0100111)B=(327.234)O。

二进制与八进制编码对应表：

二进制 八进制
000 0
001 1
010 2
011 3
100 4
101 5
110 6
111 7

八进制 → 二进制

　　方法：取一分三法，即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八进制数，小数点位置照旧。

　　例：将八进制的(327)O转换为二进制的步骤如下：

  • 3 = 011；

  • 2 = 010；

  • 7 = 111；

  • 读数，读数从高位到低位，011010111，即(327)O=(11010111)B。

二进制 → 十六进制

　　方法：取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每四位取成一位，接着将这四位二进制按权相加，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左（向右）取四位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足四位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足四位。

　　例：将二进制的(11010111)B转换为十六进制的步骤如下：

  • 0111 = 7；
  • 1101 = D；
  • 读数，读数从高位到低位，即(11010111)B=(D7)H。

十六进制 → 二进制

　　方法：取一分四法，即将一位十六进制数分解成四位二进制数，用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数，小数点位置照旧。

　　例：将十六进制的(D7)H转换为二进制的步骤如下：

  • D = 1101；
  • 7 = 0111；
  • 读数，读数从高位到低位，即(D7)H=(11010111)B。

(四) （八进制） ↔ （十六进制）

八进制 → 十六进制

　　方法：将八进制转换为二进制，然后再将二进制转换为十六进制，小数点位置不变。

　　例：将八进制的(327)O转换为十六进制的步骤如下：

  • 3 = 011；

  • 2 = 010；

  • 7 = 111；

  • 0111 = 7；

  • 1101 = D；

  • 读数，读数从高位到低位，D7，即(327)O=(D7)H。

十六进制 → 八进制

　　方法：将十六进制转换为二进制，然后再将二进制转换为八进制，小数点位置不变。

　　例：将十六进制的(D7)H转换为八进制的步骤如下：

  • 7 = 0111；
  • D = 1101；
  • 0111 = 7；
  • 010 = 2；
  • 011 = 3；
  • 读数，读数从高位到低位，327，即(D7)H=(327)O。

四.扩展阅读

　　1. 包含小数的进制换算：

\(\ \begin{aligned} \ (ABC.8C)H&=10\times16^2+11\times16^1+12\times16^0+8\times 16^{-1}+12\times16^{-2} \\\\ \ &=2560+176+12+0.5+0.046875\\\\ \ &=(2748.546875)D \end{aligned}\)

  1. 负次幂的计算：

\(2^{-5}=2^{(0-5)}=2^{0}\div2^5=1\div2^5\)

同底数幂相除，底数不变，指数相减，反过来

  1. 我们需要了解一个数学关系，即23=8，24=16，而八进制和十六进制是用这关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。接着，记住4个数字8、4、2、1（23=8、22=4、21=2、20=1）。
posted @ 2022-02-16 19:23  Wmic  阅读(221)  评论(0)    收藏  举报